(1 (71) 0 ¥1280 9/289 (1) 次の式の展開式における〔 〕 内の項の係数を求めよ. (1)(x-2)〔3〕」 (ii) (2x+3y) 5 (x³y2] (2)等式 nCo+ni+n2+..+nCn=2" を証明せよ. (3)(x+y+2z) を展開したときのry'zの係数を求めよ.

( 10 第1章 式と証明 基礎問 基 「基礎問」 とは できない)問 本書ではこの 効率よくまと 4 2項定理 ・ 多項定理 ■入試に出題 取り上げ 行います。 実にクリア 9/280 (1)次の式の展開式における[ ]内の項の係数を求めよ. (i) (2x+3y)5 (x³y2] (i) (x-2) (x³) (2)等式 Co+mCi+nCz+…+nCn=2" を証明せよ. (3)(x+y+2z)を展開したときのry'zの係数を求めよ。 ■「基礎問」一 題で1つ ■1つのテー 精講 とし、見や ました。 2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは I. 2項定理の使い方の代表例である係数決定 Ⅱ.2項定理から導かれる重要な関係式 以上2つについて学びます。 2項定理とは, 等式 (a+b)=Coa+C₁a"-1b++nСka"-b"+...+nCnb" のことで, Cka"-b" (k=0, 1,, n) を (a+b)” を展開したときの一般項といいます。 (1)(i) (x-2)' を展開したときの一般項は Cr(x)(-2)=Cr(-2)-"x" r=3のときが求める係数だから 7X6X5 7C3(-2)= 3×2 →.24=560 () (2x+3y) を展開したときの一般項は Cr(2x)(3y)=sCr・2'35-xry-r r=3のときが求める係数だから 次に (x+y)* を展開したときの一般項はCrys したがって (x+y+2z) を展開したときの一般項は 6Ck Cixy(22)6-k =266Ck* kCi x'y-126-k 7 よって, 'y'zの係数はk=5, i=3のときで 2′6C55C3=26C1・5C2 ポイント 参考 多項定理 =2・6・10=120 11 定数の部分と文字式 の部分に分ける (a+b)” =nCoa+nCian-16+..+nCkan-kbk+…+nCzbn (3)は次の定理を使ってもできます。 (a+b+c)” を展開したときの abc" の係数は >a n! C) p!g!r! (p,g,rは0以上の整数で,p+g+r=n) (x+y+2z) を展開したときの一般項は 6! p!g!r! y°(2z)= 2'6! p!q!r! xyz" p=3, g=2,r=1のときだから求める係数は (p+g+r=6) (別解) Crx7-(-2) でも よい 第1章 2-6! -=120 3!2!1! 5C(2x)-(3g)" で もよい 注 1. 多項定理を使うと, 問題によっては, 不定方程式 p+q+r=n を解く 技術が必要になります. 5×4×3 5C3・23・32= ..2・32=720 3×2 (2) (a+b)"="Coa+na" 16+..+nCn-14b"-1+nCnb” の両辺に a=b=1 を代入すると (1+1)"="Co+"Ci+…+nCn nCo+nCi+..+nCn=2" (3)(x+y+2z)を展開したときの一般項はCh(x+y^(22) 6-k 注2. (1) (i) のようにx,yに係数がついていると, パスカルの三角形は使いに くくなります。 演習問題 4 (1) (3x-2y) における ryの係数を求めよ. (2) nCo-nCi+nC2-nC3+..+(-1)",Cn=0 を証明せよ.