an+on 3)が自然数,a>0,6> 0 のとき = (a+b) n 2 数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。

an+bn a+b\n (3) 2 M [1] n=1のとき 2 ① とする。す 7301= [(1) a+b ると (株) 2591 (左辺)=a+b(右辺)= よって, ①は成り立つ。 2 [2]n=kのとき,①が成り立つ,すなわち ak+6k a+b\k 比 で (2) 2 2 と仮定する。 d=

n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると, ②から ak+1+6k+1 k+1 2 a+b\k+1 2 +6 k+1 a+b a+b k || 2 2 2 ak+1+bk+1 a+b a+b All 2 2 2 2ak+1 +26k+1 ak+1 - = -abk-akb-bk+1 4 a k+1+bk+1_abk-akb ab k² $441) = 4 +81 +5 (a-b)(a-bk) 4 この式は, abのときも, abのときも 0 以上になるから ウー)=28 ゆえに、 ak+1+6k+1 2 ( a+b\k+1 2 4 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ。