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00000
求めよ。
大]
方で解いてみよう
する。
して、
-t)2
y
演習 例題 223 3 本の接線が引けるための条件 ( 1 )
341
00000
| 曲線 C:y=x+3x2+x と点A (1, α) がある。 A を通ってCに3本の接線が引
けるとき,定数αの値の範囲を求めよ。
[類 北海道教育大]
基本218
指針▷ 3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線が異なる(下の検討参照)から,
曲線CA (1, α) を通る3本の接線が引ける
曲線C上の点(t, +3+t)における接線がAを通るようなもの値が3つある
そこで, 曲線 C上の点(t, + 3t+t) における接線の方程式を求め, これが点 (1,α) を
通ることから,f(t)=αの形の等式を導く。
1
CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別
解答
y=3x2+6x+1であるから, 曲線 C上の点 (t, +32 +t) に
おける接線の方程式は y-(t+3t2+t) = (3t+6t+1)(x-t)
y=(3t2+6t+1)x-23-32
すなわち
この接線が点 (1,α) を通るとすると2°+6t+1=a...
①
定数αを分離。
二、指針の①の考
f(t)=-2t3+6t+1 とすると
y
ものである。
f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1)
5
f(t) = 0 とすると t=±1
f(t) の増減表は次のようになる。
t
-1
...
1
認する。
f'(t)]
0
+
0
f(t)
|極小
-3
|極大
5
y=a
-10!
<f(-1)=2-6+1=-3,
1
t
f(1)=-2+6+1=5
6
38
関連発展問題
-3
|y=f(t)
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線が異なるから
数
3 ......
ま、方程式
したがって、曲線 y=f(t) と直線y=αが異なる3点で交わる
条件を求めて -3<a<5
tの3次方程式 ①が異なる3個の実数解をもつとき,点Aか
ら曲線Cに3本の接線が引ける。
①の実数解は曲線
y=f(t) と直線 y=α との
共有点の座標。
dx
“よい。
である。
-8
=-8x-4
検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係
3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α, β (αキB) で接すると仮定すると
g(x)-(mx+n)=k(x-a)(x-B)2 (k=0)
接点重解
の形の等式が成り立つはずである。ところが、この左辺は3次式, 右辺は4次式であり矛盾して
いる。 よって、3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。
これに対して、 例えば4次関数のグラフでは, 異なる2点で接する直線がありうる (前ページの
演習例題 222 参照)。 したがって,上の解答の
223
の断り書きは重要である。
点A(0,α) から曲線 C: y=x-9x2+15x-7に3本の接線が引けるとき, 定数
αの値の範囲を求めよ。
に
142
