32 (ウ) 2進法で表すと9桁だから, 2°≦N<2° つまり 256N512 この範囲の4の倍数は 256 508 で (508-256)÷4-1-64(個) 【別解】 4=22 だから, 4の倍数を二進法で 表すと下2桁は 00. よって, Nは口に0か N=10 の形になる。 端点を数えるなら+1 す。 00 (2) 植木算(すき間ならそのは ( 1を入れたもので,2°=64個(参考)20=16+481,10100(2) 220- 21000 25.0 -17 演習題(解答は p.88)... (ア) (1) 6進法の小数 0.24 (6) 10進法の分数で表せ. 10100(g) □1つにつき2通り. (2) ある正の数をa進法で表すと0.2(a), 6進法で表すと 0.12 (6) となった.aとb の値を求めよ. (獨協医大・医/大幅に省略) (イ)7進法で表しても9進法で表しても3桁になる自然数全体の集合を A とする.た だし,A の要素は 10 進法で表すものとする。 Aの要素のうち最小のものは(1), 最大のものは(2) である. A の各要素を7進法で表した7進数を、そのまま3桁の10進数とみなして (たとえ 234(7)は234とみなして)できる10進数の集合をBとする. 同様に, A の各要素を 9進法で表した9進数を、そのまま3桁の10進数とみなしてできる10進数の集合をC とする.このとき, Bに属する最小の自然数は (3) であり, Cに属する最大の自然 数は (4) である. また, BとCの共通部分は全部で (5) 個の要素を含む. (近大) (ア) (2) 解き方のヒン トは, 6 演習題の別解 (イ) (3)以降、混乱し ないように,(5)は地道 に数えてもできる。 80

いるとする. このとき,a+b√2=-c√3 であるから, 22ax+α2-262=0はx=-cv3 を解にもつ。 よって (-c√3)2-2a-c√3)+α-262=0 3c2+2ac√3+α2-262=0 ∴.2ac√3=262-a2-3c2 ac0 とすると,①より、 √3-262-02-3c² 2 2ac の形を導く。 a, b, cは有理数だから上式の右辺は有理数となり√3 が無理数であることに反する. よってac=0 ・a=0のとき、b√2+c√3=0である. b = 0 ならば c=0. b=0のとき √2=-√3 /3 3c 両辺√3倍して6=- b √6は無理数,右辺は有理数で矛盾する. •c=0のとき,a+b2=0である. b = 0 ならば a=0. b=0のとき,√2-1で√2は無理数,右辺は有理数 で矛盾する. 以上で示された. b 注 ①式は, a+c√3=-bv2の両辺を2乗して整 理したものと同じである.なお, a+b√2=-c√3, b√2+cv3=-a として両辺2乗でも解ける. 17 (ア) (2) まず, aとbの関係式を作る. これ をα=… の形にし, 分子を低次に変形する。 (イ) (3) は(1)を7進法で表したもの, (4) は(2)を 9 進法で表したものである. (5) は7進法で考えると一 発で求められる. b+2=8 ∴.b=6 このとき,α=2(6-2)+1=9 (イ) (1) (2) 7進法で表すと3桁になる自然数は、 100 (7) 以上 1000 (7) 未満 つまり, 1.72=49 以上 1・73343 未満 9 進法で表すと3桁になる自然数は, 100 (9) 以上 1000 (9) 未満 つまり, 1.92=81 以上 1・93729 未満 ② ① かつ ② は 81 以上342 以下だから, A の要素のうち 最小のものは 81, 最大のものは342. (3)817進法で表すと, 81=1・72+4・7+4・1 より81=144 (7) だから, 答えは144. (4)3429進法で表すと, 342=4・92+2・9+0・1 より342=420 (9) だから, 答えは 420. 同じ数を7進法と9進法で表して,それらを10 進数とみて比べると (7進法) > (9進法) となるから, B に属する最大の自然数は420より大きく, Cに属する最 小の自然数は144より小さいよって,BとCの共通部 分は,144 以上 420以下で各桁とも0以上 6以下の自然 数全体である. これらを7進法でみる (つまり, 144 144 (7)) と, 144 (7) 以上 420 (7) 以下の自然数となるので, 144 (7)=81,420 (7)=4・72+2・7=210 より210-81+1=130 (個) ある。 ■ (5) 地道に数えると一 ・14□は3個, 15 □ と 16 □は各7個 ・2□□は72個 3□□も72個 • 40□と41□は各7個, 420 以上を合わせて, 2 4 解 (ア) (1) 0.24 (6)==+ 16 4 = 6 62 62 9 18 (2) 0.2 (α)=0.12 (b) より 2 1 2 + a b 62 よって, 262 2 b+2 .. a 62 2(b+2)(b-2)+8 a= = b+2 6+2 8 =2(6-2)+ b+2 α 進法, b進法で2が使われていることから, α, bは ともに3以上の整数であり,また, 8 b+2 は整数, よっ 6+2は8の約数で5以上となり, 88 3+7×2+72×2+7×2+1=130 (個) 旧 法に 色して数 (1) 与式は [x]の2次方程式である. まず。 [x] を求める. (2) ここでは, [3] が3[x] 3[x]+1,3[x]+2に なる条件を求めてみる. ポイントは,xの小数部分を設 定することと, nが整数のとき [n+α]=n+[a] (整数はガウス記号の外に出せる)となることである。 (3) 上の結果を使う. 解 (1) ([])+2[x]-30より ([x]+3)([x]-1)=0 (2 で な 1

26-9 6+21262 262+4b -40 B,Cの共通部分-46-8 8 144A420 (9) 925A473 2.813A≤342 このとき、B(進法):144≦A=666 C(法):100A≦420 よって、Bac=144=A420 よって、(420-144)+1=277(個) & (920-199) *18