| 2次方程式ar-(a+1)x-a-3=0が, -1<x<0, 1<x<2の範囲でそれる。
OO0。
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基本 例題126 2次方程式の解と数の大小
p.191 基本事項]
つの実数解をもつように, 定数aの値の範囲を定めよ。
位
指針> (x)=ar?ー(a+1)x-a-3(aキ0) としてグラ
フをイメージすると, 問題の条件を満たすには
リ=f(x) のグラフが右の図のようになればよい。
すなわち f(-1) とf(0) が異符号
[a>0]
la<り)
y=f(x)
0
0
=fx)
かつ f(1)とf(2) が異符号
である。aの連立不等式 を解く。
CHART 解の存在範囲 f(p)f(q)<0なら pとqの間に解(交点)あれ
解答
42次方程式であるから。
(x* の係数)キ0に注意
f(x)=ax°-(a+1)x-a-3とする。ただし, aキ0
題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が -1<x<0,
1<x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
f(-1)f(0)<0 かつ f(1)f(2)<0
f(-1)=a·(-1)*ー(a+1)·(-1)-a-3=a-2,
『すなわち
注意 指針のグラフから
るように、a>0 (グラフが
に凸),a<0(グラフが上
凸)いずれの場合も
F(-1)f(0)<0かつ
プ(1)f(2)<0
が、題意を満たす条件でお
よって, a>0のとき、べ
のとき などと場合がけを
て進める必要はない
ここで
f(0)=-a-3,
f(1)=a·1°-(a+1)·1-a-3=-a-4,
f(2)=a·2°-(a+1)·2-a-3=a-5
f(-1)f(0)<0から
ゆえに
(a+3)(a-2)>0
a<-3, 2<a
また, f(1)f(2) <0から
よって
の
ゆえに
(a+4)(a-5)>0
a<-4, 5<a
0.② の共通範囲を求めて
よって
a<-4, 5<a
これはαキ0 を満たす。
-4 -3
5
に
