✨ ベストアンサー ✨
Σf(k)
を計算したいわけですけど、Σ公式で知っているものは
f(k)=1
f(k)=k
f(k)=k^2
f(k)=k^3
f(k)=r^k
f(k)=k r^k
f(k)=nCk
f(k)=k nCk
などで、今回のf(k)のΣ計算はできません。Σ公式がないものを近似的に計算する常套手段は積分評価です。これは入試問題でもよく使われるもので、初めては唐突に感じられますが、慣れればごく自然な発想です。(1)の誘導もありますが、なくてもこれくらいはできるようになると思います。
「積分評価」を理解すればわかりますかね？
あるいは、直感でf(x)を作って定積分してみるしかないですか？
(またあるいは、こういう問題の出題パターンで必ずf(x)は左辺の数列の一般項の形になるものですかね？それだと解決なのですが……。)
ああ、理解できたかもしれない。一般項でf(x)を作れないならわざわざこんな解かせ方しないですね。とりあえず一般項からf(x)作ればいいですか。
念のため、思い違いかもしれないので追って返答いただきたいです。
確かに部分分数分解でΣ計算できますね。失礼しました。
Σf(k)を∫f(x)dxで評価することを、積分評価と表現しました。今回はf(k)=1/(x^2-1)です。
https://examist.jp/mathematics/integration-expression/tokenaisuretu/
右辺が∫f(x)dxになっているかは、実際に計算してみないとわかりませんが、典型的にはこのパターンです。
丁寧な回答ありがとうございます。
貼付の記事で理解が深まりました。ありがとうございます。
(積分評価なるものを知らないので調べてみますが、)分からないのは左辺の数列の和よりも右辺の方です。(左辺だけ求めるのなら部分分数分解で何とかなりそうです。)
どうして「”ある範囲で定積分すると右辺になる式”はf(x)で、範囲は2〜n+1だとわかる」のかがわかりません。