題49 放物線 y=x° と, 点(1, 2) を通る直線で囲まれた図形の面積Sを最
小にするような直線の方程式を求めよ。
指針
直線の傾きを mとして, 面積を mの関数として表す。 面積の計算では
-(x-a)(x-B)dx= (B-a)° を利用する。
x軸に垂直な直線は適さないから, 点(1, 2) を通る直線の方程式を y=m(x-1)+2
とする。
放物線とこの直線の交点のx座標は, 方程式
解答
x°=m(x-1)+2
すなわち
x°-mx+m-2=0
の
の実数解である。方程式① の判別式を Dとすると
D=(-m)?-4(m-2)=m°-4m+8=(m-2)?+4>0
よって,① は異なる2つの実数解をもつ。それらを α, β (α<B)とすると
(ローのー
S=-(m-2+4}
s="(m(x-1)+2-x}dx S(x-a)(x-B)dx=8-a)
=ー
また, β-α="m+/D_m-/D
2
-=VD であるから
2
よって, Sは m=2 のとき最小であり,求める直線の方程式は
y=2(x-1)+2
すなわち
y=2x 答
