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3 直線定点通過, 平行・ 垂直条件
2直線 (a+2)+(a+3)y=10 16x+ (2a-1)y=5...... ② が与えられている。
(1) 直線①はαの値にかかわらず定点A() を通る.
①)
②法の対行か
(2) a=
または
□ のとき, 2直線 ① ② は平行である.
(3) a=L
または
] のとき 2直線 ① ② は垂直である.
(麻布大生命環境)
定点通過
f(x,y)+α.g(x, y) = 0......A がαの値によらず成立するための条件は,
f(x, y) = 0 かつ g (x, y) =0が成り立つことである. なぜなら, a=0のときAが成り立たなければな
らないからf (x,y)=0.このときはα-g (x,y)=0となり, α≠0のときも成り立つから
g(x,y)=0でもあるからである.そこで, (1) は,まずはこの式を文字定数 α について整理する.
平行条件, 垂直条件
集=仙上の種が一
1° 傾きがm1, m2 である2直線について, lm=m,hikmmz=-1
2°2直線:+b+c=0,l:azt+bzy+c2=0について,
hill
⇔ 4: b=az: b2
yの係数の比が等しい
法線ベクトル (ベクトル未習の人は飛ばして構わない)
直線に垂直なベクトルを直線の法線ベクトルと言う. 直線 ax + by +c=0 の
法線ベクトル(の1つ)は, (c) [xとyの係数がつくるベクトル]である.
このことは傾きを考えれば当然だろう. 上の2について,
4/12
41½
ax+by+c=0
ara2+b1b2=0 [内積=0]
(1) 0-04079
解答
(1) ①をαについて整理すると, 2x+3y-10+α(x+y)=0.
これがαの値にかかわらず成立する条件は
2x+3y-10=0･･････③ かつ x+y=0.④
い
④×3-③より,r=-10で,よって求める定点は, A (-10,10).
(2) ①と② が平行となる条件は x, yの係数の比が等しいことであるから,
(a+2) (a+3)=6 (2a-1)
← ①' が α についての恒等式になる.
2直線2+3y-10=0, x+y=0
の交点が定点.
10-10-2
at yo
=-3
a1-3
② Q.Q2-bbs=072iok
[法線ベクトルを用いると]
(a+2)
f(x
20-1
(a+2) (2a-1)=6(a+3)
..242-34-20=0
(a-4) (2a+5)=0
a=4,-
5
2
(3) α-3のとき,①はy軸に平行であるが,②はx軸に平行でない.
a=1/2のとき,②はy軸に平行であるが, ① はx軸に平行でない.
1
a≠-3 かつαキーのとき,①の傾きは
a+2
a+3'
6
②の傾きは
2a-1
⇔ (a+2) 6+ (a+3) (2a-1) = 0
であり, 場合分けは不要である.
であるから, ①と②が垂直となる条件は,
a+2
a+3
6
=-1
2a-1
①+② ⇔ (201)
a+3,
(a+2) 6+ (a+3) (2a-1)=0 ∴.2α² +11a +9 = 0 ..α=-1,
3 演習題(解答は p.100 )
-(a+1)(2a+9)=0
直線(3+2k)+(4-k)y+5-3k=0がある. この直線は,kの値によらず,定点
(□) を通る.また, 点 (1, -1) この直線との距離が最大となるのは
」である.
k= のときで, そのときの距離は [
(獨協医大 )
後半は, 定点を生かして
図形的に処理できる。
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