思考プロセス
例題 286 階差数列[2]
次の数列の一般項を求めよ。
3,5,8, 14, 25, 43, 70, 108, 159,
規則性を見つける
Re Action 規則性が分かりにくい数列は,階差数列を考えよ 例題285
規則性が分かりにくい
{an} 3, 5, 8, 14, 25, 43, ...
-1
an = a+bk
k=1
n-1
bn=b₁+Σck
k=1
階差(
{bm}:
2 3 6 11
18
→
Ck
さらに
階差
{cm}:
1 3
5 7
規則性が分かる
Cn
⇒ cn = □
Action » 規則性が分かりにくい階差数列は,さらに階差を考えよ
解 与えられた数列を {an}とし, {an}の階差数列を {bm},
{bm} の階差数列を {c} とすると
{a}: 3, 5, 8, 14, 25, 43, 70, 108, 159,
{c} {a}の第2階
数列という。
階差数列{6}の規則性が
分かりにくいときは
らに{6}の階差数列をと
る。
-)+(-)-9
{6}:2,3,6, 11, 18, 27, 38, 151,
{C}: 1,3,5,7,9, 11, 13,
{C} は,初項1, 公差2の等差数列であるから
Cn=1+(n-1) ・2=2n-1
よって, n≧2のとき
n-1
bm=by + c =2+2(2k-1)
k=1
k=1
=2+2=(n-1)n-(n-1)
=n2-2n+3
1.81
Erg
n=1 を代入すると2となり, 61 に一致する。
+g=b1=2
ゆえに, n≧2 のとき
n-
an=a1+2bk=3+
(k²-2k+3) 1-8
+1=
k=1
(n-1){(n-1)+1)
Bbn=n²-2n+3
n=1のときも成り立つ
か確認する。
k=1
=3+1/2 (n-1)n(n-1)-2.11(n-1)n+3(n-1)
==
6
n(2n²-9n+25)
n=1 を代入すると3となり,αに一致する。
したがって
an = n(2n²-9n+25)
2e
k=1
=
1
Dan = n(2n-9n+25)
がn=1のときも成り
立つか確認する。
