第1章 式と計算の算
(-1)
例題15
二項係数の関係式(2)))))
****
nを正の整数として,次の等式を証明せよ。夢
(1)',','+C'++,C,'=2,C,+20
00と自
(2) 2≦n, r=1, 2,.....n-1 のとき,,,=
C,+miCr
n
考え方 (1) (1+x=(1+x)(x+1)* であるから (1+x) 2” の展開式におけるxの係数と
(1+x)"X(x+1)" の展開式における x”の係数は一致する。
解答
(2)(1+x=(1+x) (1+x であり、 両辺のの係数は一致する
(1)二項定理(a+b)"=Coa"+,Ca" 'b+,Cza"262++,C,b" において
a=1,b=x とおくと,
(1+x)"=Co+,Cix+2x'+....+"Chx"
a=x, b=1 とおくと、
(x+1)"="Cox"+"Cix"'+2x2+....+nCn
(1+x)"" = (1+x)"(x+1)" が成り立ち、
(1+x) 2” の展開式におけるx”の係数は2n C... ①
また、
(1+x)" (x+1)*
=(nCo+mix+2x'+....+"C"x")
x("Cox" +"C₁x" + "C₂ x " 2++nCn)
の展開式における x の係数は,
ひでり切れ
200
+++
分
を求める
Cox,Co+ixi+C2X,C2+....+CX, C
=,C2+,C2+,C2+,C3'+... +,C2...
① ② は一致するから、
C2+,C2+,C2+,C++,C,'=2,C
(2) (1+x)"=(1+x) ・(1+x)"-1 である。
②
この展開式におけるxの係数は, 2≤n, r=1, 2, ....... n-1より
(右辺 = (1+x) (m-1Co+n-Cix+n_1242++-1C-1x-1)
2-1Cr+m-1Cr-1 である.
(3)
これは,左辺 (1+x)" の展開式におけるxの係数,C, と一致する。
よって、2n,r=1, 2,......n-1のとき、
C=C,+ Cr-1
