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-3x-
基本 55
を求めよ
重要 例題
57 高次式を割ったときの余り
n
めよ。
①①
2以上の自然数とするとき,x”-1 を (x-1)2で割ったときの余りを求
(7)
(2)x100+ 2x +1 を x2+1で割ったときの余りを求めよ。
指針
[学習院大 ]
基本 55,56
実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 か.94~96 でも学習したように,
割り算の問題 等式 A =BQ+R の利用
がポイント。
Rの次数に注意, B = 0 を考える
おける
(x-1)(x-2
った余りを
97
2章
」った余りは
●項式または
(12)ともに割る式は2次式であるから,余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが,それだけでは足りな
い。 そこで,次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α°=1, 6°=1
a"-b"=(a-b)(a"-+a"-2b+a"-36²+......+ab"-26"-1)?
(2)x2+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して, 複素数の相等条件
A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0
(+税
)
(1) x-1 を (x-1)で割ったときの商をQ(x),余りを
ax+b とすると,次の等式が成り立つ。
て
1,2
b, co
かりを見
解答
x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+b
両辺に x=1 を代入すると
0=a+b すなわち b = -a
①に代入して
x"-1=(x-1)2Q(x)+ax-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
式)から
56=
練習
を利用。
二項定理の利用。
別(1)
x"-1={(x-1)+1}"-1
=Cn(x-1)*+..+nCz (x-1)2
+nC1(x-1)+1-1
=(x-1)2
×{(x-1)^2+…+nCz}
taxan
ゆえに、余りはnx-n
ここで,x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2 +…+1) であるか また, (x-α)2の割り算は
xn-1+xn-2++1=(x-1)Q(x)+q
この式の両辺にx=1 を代入すると
ら
10
剰余の定理と因数定理
7
1+1+......+1=α
n個
よって
a=n
b = -αであるから
b=-n
微分法 (第6章) を利用する
のも有効である (p.323 重
要例題 201など)。 微分法
を学習する時期になったら,
ぜひ参照してほしい。
ゆえに, 求める余りは
nx-n
(2)3x100+2x97 +1 を x2 +1で割ったときの商をQ(x), 余
りをax+b(a,bは実数) とすると,次の等式が成り立
つ。
3x100+2x97+1=(x2+1)Q(x)+ax+b
両辺に x=iを代入すると
3100+27+1=ai+6
100=(z2)=(-1)=1, i°= (i)*i=(-1)*i=iである
5330-(0)9
20-(2)9
2300-(89
x=-iは結果的に代入
しなくてもよい。
から
すなわち
3・1+2i+1=ai+b
4+2i=b+ai
a, b は実数であるから
a=2,6=4
したがって、求める余りは 2x+4
実数係数の多項式の割り
算であるから、余りの係
数も当然実数である。
p.100 EX 39
練習 (1) n を2以上の自然数とするとき x ” を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。
57(2)x+x+x+4で割ったときの余りを求めよ。
