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基本例断 63 有理数と無理数の関係
00000
(1) a, b が有理数のとき, a+b√3=0ならば a=b=0であることを証明せよ。
ただし,√3は無理数である。 :
(2)等式 (2+3√3)x+(1-5√3)y=13 を満たす有理数 x, yの値を求めよ。
基本 61
指針
(1) 直接証明することは難しいので, 背理法を利用する。 「a=b=0」の否定は 「α≠0
または60」であるが、この問題では「b≠01 と仮定して進めるとうまくいく。
(2)(1) で証明したことを利用するために,√3について整理し, a+b√3 の形にする。
(1) b≠0 と仮定すると,a+b√3=0 から
a
√3=-16
==
b
解答
①
a,bは有理数であるから, ①の右辺は有理数である。
ところが①の左辺は無理数であるから,これは矛盾で
ある。
よって, 6=0 とした仮定は誤りであるから
b=0
b=0 を a+b√30に代入して
a=0
したがって, a, b が有理数のとき
有理数の和差・積・商
は有理数である。
a+b√3=0ならば a=b=0 が成り立つ。
(2) 与式を変形して 2x+y-13+(3x-5y)√3=0
x, y が有理数のとき, 2x+y-13, 3x-5y も有理数であ
り√3 は無理数であるから, (1) により
3x-5y=0 ...... ③
② ③を連立して解くと
2x+y-13=0 ••••••
②,
x= 5, y=3
<a+b√3=0の形に。
の断りは重要。
