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数学C 2次曲線
106 楕円の接線の応用
(1) 直線y=mx+nが楕円 C:x+ -1に接するための条件をm,
n を用いて表せ.
(2)
C: x²+ =1の直交する2つの接線の交点の軌跡を求めよ.
解答)
(1)
y=ax+(Y-Xa), y=Bx + (Y-XB)
数学C 2次曲線
となり、これらが直交するとき、傾きについて、 aβ= -1 ・・・⑦ が成り立つ
もし、⑥がm=pqi (p,qは実数で、g0)
という虚数解をもつとすると、2解の積は、
ここでα.
Bは⑥の解であるから,
解と係数の関係より,
1-X2
となるので、これと⑦から、
(島根大)
-Y2+4
1-X2
=-1
-Y'+4= -1+ X'
X2+Y2=5
よって、点Pの軌跡は,
(p+qi)(p-qi) p²+q'>0
となるよって⑦が成り立つとき、 2解の積は
正でないので、 ⑥の2解α. βは必ず実数になる。
したがって、 ⑥の判別式を調べる必要はない
x+y2=5 (ただし, xキ±1)
で求めた4点 (1,2) (1,2) (12)
(-1,-2)は,いずれも円x+y'=5上の点で
ある. したがって, (ア)(イ)より, 求める軌跡は、
x+y2=5
√5
0
x+2=1…①, y=mx+n…② m +40 なので ③は
① ② からy を消去すると,
4x2+(mx+n)=4
③の判別式をDとすると,
2次方程式である
(m²+4)x2+2mnx+n2-4=0.③
=(mn)² - (m²+4)(n²-4)=4m² −4n²+16
楕円を題材とした有名な応用問題である. (1) は,直線の式が与えられているので、ここま
でで学習したように、「2次曲線と直線の式を連立してD=0とする」 という方針でと
の関係を容易に得ることができる.
①と②が接するための条件は、 21/17-1
D
4m² -4n² +16=0
-=0が成り立つことであるから,
mn"+40 ...④
解説講義)
(ア)
(2) 直交する2本の接線を
との交点をP(X, Y) とする..
とし、
が座標軸に平行であるとき
y
ム, がx=1,y=2のとき,P(1,2)
4. がx= 1, y=-2のとき,P(1,2)
. がx=-1, y=2のとき,P(-1, 2)
・ がx=-1, y=-2のとき,P(-1,-2)
(イ)が座標軸に平行でないとき
-1 0
P(X, Y) を通るCの接線を,傾きをmとして,
y-Y=m(x-X)
すなわち
y=mx+ (Y-Xm)
⑤
とおく ⑤ が Cに接するための条件は、④の
2
12
(P(X, Y)
nをXXm とすると
|1
→x
0
m-(-Xm)'+4=0
m²-(Y2-2XYm+ X'm²)+4 = 0
(1-X2)m² +2XYm-Y2 + 4 = 0
6
X≠±1より, 1-X2≠0 であるから, ⑥はmについての2次方程式である。
⑥ の実数解をm=α β とすると, 2本の接線は, ⑤より
(2)では、2本の接線の交点をP(X, Y) とすると,2本の接線はどちらも点Pを通るので、
傾きをmとして、接線を ⑤ のように設定する. (1) の結果を利用すると, ⑤ が楕円Cに接
するためには、傾きが⑥を満たさなければいけないことが分かる. もし、 2次方程式 ⑥
のがm=3-2であったとすると, Pから引いた2本の接線の傾きは3と2であるか
5. 2本の接線は直交しない。一方, ⑥の解がm=3.4であったとすると、Pから引い
た2本の接線の傾きは3とであるから,「(傾きの積)=-1」が成り立ち、2本の接線
は直交する.
したがって、⑥の解を α, β としたときに 「αβ-1」 が成り立てばよく、解と係数の関
係を用いることで, X, Yの満たす関係を手に入れることができ, Pの軌跡が求められる。
ただし、解答の(ア)(イ)のように場合分けをする必要があり、ややレベルの高い問題である。
なお、点Pの軌跡である円x+y=5は、楕円の「準円」 と呼ばれるものである。
数学
Cの必勝ポイント
2次曲線の接線のまとめ
(I) 接線の公式を使う
(Ⅱ)2次曲線と直線の式を連立してD=0とする
