例題218 条件付きの最大・最小
x,y,zはx+y+z=0,x²+x-yz-1=0 を満たす実数とする。
(1) xのとり得る値の範囲を求めよ.
15
(2)P=x+y+z3 の最大値 最小値を求めよ。 また, そのときのxの
値を求めよ。
考え方 (1) 条件式からy,zを解にもち、xを係数にもつ2次方程式を作り,これが実数解を
もつこと (D≧0) を利用する。UD
(2)
Pをxの式で表し, (1) の範囲における最大値・最小値を求める.
(1) 条件より, y+z=-x
30 yz=x²+x-1 ·②
y,zを実数解にもつ2次方程式の1つは,
t²-(y+z)t+yz=0
解答
10
値をと2
であるから, ①, ② を代入して,
t2+xt+(x2+x-1)=0
③3③
xが実数であり, ③の解y, zも実数であるから,<(p.98 参照)
2次方程式 ③の判別式をDとすると, D≧0.
したがって,
42
D=x2-4(x2+x-1)=-3x²-4x+4 における教大値と最小
より,
(3x-2)(x+2)≦0
2
よって、-2≦x≦ // ... ④
3
(2) P=x³+y³+z³
=-(3x-2)(x+2)
=x³+(y+z)³−3yz(y+z)
① ② を代入すると
をP=x²+(-x)-3(x2+x-1)・(-x)
6538480
_=3x3+3x2-3x
したがって,Pをxで微分すると,
P'=9x2+6x-3
TRES
-2
=3(3x2+2x-1)
=3(x+1)(3x-1)
1
P'=0 とすると,30x= -1.
3
より, ④ におけるPの増減表は右
のようになる.
RO
したがって, x=-1で最大値3, x=2で最小値-6
P' +
OS
P-6
-1
>
20
極大
****
3.615
2数α, βを解とする
2次方程式の1つは、
t²-(a+B)t+aß=0
Vb
y, z を消去する.
130
I
極一
極小
小59
EN
+
>
23
2
第
