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(ア)√2x-x=1-2x を満たす実数xの値は [
(イ) √5-x<x+1を解け.
(ウ) 不等式√x+1≧2x-1 を満たす』の範囲は
03 ルートがらみの方程式・不等式を解く一
..
]である.
ルートがらみの方程式・不等式のことを, 無理方程式 無理不等
図形問題を解くときにも現れる
式と言う。 教科書的には数Ⅲの内容だが, 図形問題を解くときにも (解法によっては) 現れることがあ
るので,ここで練習しておくことにしよう.
解くときの注意点
2乗してルートを解消するが,その際に注意が必要である.
である.
・2乗すると同値性がくずれる. 例えば, A=B⇒A'=B' であるが, A'=B' # A=Bである
A'ZBであ
A2≧B」という同値変形ができるの
解答量
(7) √2x-r² =1-2x ⇒1-2x²0 ƒ› 2x−x²=(1−2x)²
①を整理すると, 5x²-6x+1=0 :: (r−1)(5r-1)=0
-1<x≦5 かつ (x+4) (x-1) > 0
(ウ) √x+1≧2x-1 ① のとき, x+1≧0
1°②かつ 2ェー1<0, つまり -1≦x<1/12 のとき
(例えば,A=-2,B=2のとき, A2=B2 だが,A = B ではない).また, A≧B
る(例えば,A=1, B=-2のときを考えよ)『A≧B
は,A≧0かつ B≧0のときである. 両辺が0以上なら, 2乗しても同値である.
・ルートの中は0以上であり,
の値は0以上である。
実際にどのようにするかは,以下の解答で.
1-2≧0 を満たすxを求めて, x=-
(1) √5-x<x+1 ⇒ 5¬x≥0h»x+1>0 A»5−x<(x+1)²
... -1<x≦5 かつ x2+3x-4>0
(京都産大・理系)
(龍谷大・理系(推薦))
(東洋大)
∴.1<x≦5
x≧-1
は成り立つ。
5
よってStea であり.xml/1/2とから、1/12ss20 5
4
1°,2°により, 答えは、-1≦xs 20
5
2°②かつ2x-1≧0, つまりx≧
x≧1/2のとき,① の両辺を2乗しても同値で,
x+1≧(2x-1)2 .. 4x²-5x≤0 : x(4x-5) ≤0
← ① のとき,右辺≧0 により
2x-2≧0であるから, ルートの
中は0以上であることが保証さ
れる.
x+1>√5-x≧0 により,
x+1>0.
←-1<x≦5のとき,x+4>0
← ①の右辺の符号で場合分け. ②
のとき, ①の右辺 < 0 なら ① は成
立。
