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2章 微分法
★☆☆☆
例題 62 微分係数と極限値
公開
関数 f(x) が x = α において微分可能であるとき、次の極限値をa, f(a),
★★☆☆
f (a) を用いて表せ。
f(a+2h)-f(a-h)
(1) lim
(2) lim
{af(x)}_{xf (a)}2
x-x-a noirs
(
7617
思考プロセス
定義に戻る 微分係数の定義
f(a+□)-f(a)
f' (a) = lim-
・・・①
または f'(α)= =lim
f()-f(a)
ロー
... 2
0
☐
(1) ① の形に似ている。
f(a+)-f(a) の形をつくって調整
f(a+2h)-1
+
-fla-h)
(与式)=lim
→0
[f(a+2h)-
lim
0
h
2hにしたい
+h)-1
→2af (a)
(2)②の形に似ている。 分子は (
{af(x)+xf (a)}{af(x)-xf (a)}
x-a
0
lim (af (x)+xf (a)). af (x)-xf (a)
②の利用を考える
x-a
Action» 関数 f(x) を含む極限値は、微分係数の定義を利用せよ (x)\ll
(与式)=lim
x+a
)を掛け
圖 (1)(与式) = lim
h
まずし
ff(a+2h)-f(a)
・2+
e)+1
=
2h
-h
| f ( a − h) = f (a) } |
f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
(0)\ h +01
fla-h)-
ームにしたい
したい
h
A
)2- (
2の形。
0
あるが
= {af(x)
x-aL
(a)]
= f'(a) 2+ f'(a)
=3f'(a)
化
(2)与式)=lim
x-a
前項は分母を2hにして
から2を掛けて調整し、
後項は分母をんにして
符号を調整する。
h0のとき
{af(x)+xf (a)}{af(x)-xf(a)}(0) 2h0,-h0
= lim {af(x) + xf (a)}・
x+a
であることに注意する。
x-a
{af(x)-xf(a)}
分子を因数分解する。
x-a
不定形になる部分を
f(x)-f(a)
= lim {af(x) + xf (a)}
x-a
×
af (x) - af (a) + af(a)-xf (a)]
f(a)}]
0
分けて考える。
f'(a) = lim
x-a
形をつくるために
“-af (a) + af (a)” を追加
して考える。
x-a
= lim (af (x) + xf(a)){a. f(x) = f(a)
=2af (a){af (a)-f(a)}
x-a
62 関数 f(x) が x = a, d' において微分可能であるとき,次の極限値を α,
f'(a), f(a), f' (a) を用いて表せ。
(1) lim
f(a+3h)-f(a+2h)
h
tol
x²f(a²)-a² f(x²)
(2) lim
x-a
x-a
125
p.138 問題62
