108、2から3行目の式変形がわかりません

76 第5章 積分法 32 定積分の種々の問題(1) 771 32 定積分の種々の問題 (1) 重要例題 ☆☆ 定積分で表 107 ) 関数 F(x)=f(x-1)logtdt をxについて微分せよ。 46 サクシード数学Ⅲ Sf(t) = Fit) された関数 XS(x)-S (cost+ sin2t) dt (0≦xs/2/21) の最大値、最小値 108 f(t) 不定積分の1つをF(t) とする。 与えられた等式から を求めよ。 ポイントの定積分と微分 Sof(t) dt = f(x) (a は定数) dx. f(2x)=x F(2x) -F(0) = x2 両辺をxについて微分すると よって =F( F' (2x)・2=2x 2x=t とおくと f(t) = t ☆☆☆ したがって f(x)=1/2x 定積分で表 108 等式 Sof(t)dt=x2 を満たす関数 f(x) を求めよ。 された関数 ポイント2 積分の上端下端がxの関数の場合 f(t) の不定積分の1つ F(t) を用いて定積分を表すと, 見通しがよくなる。 109 Sof(t) costdt=a とおくと f(x) = sinx+3a 等式から F(2x)-F(0)=x2 この両辺をxで微分する。 よって f(t)costdt= (sin t+3a)cost dt ☆☆ 定積分と 109 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 関数の決定 f(x)=sinx+3)f(t)costdt ポイント Sof(t)costdt は定数であるから,文字(αなど)でおき換える。 ☆☆☆☆ 定積分と 110 lim cost x→0xJ 1+cost dt を求めよ。 極限 重要事項 ポイント④ 関数f(t)の不定積分の1つをF(t) とすると lim (t)dt=lim F(x)-F(a)=F (a)=f(a) xax-ad x-a x-a ←微分係数の定義 #P (sintcost + 3acost)dt sin 2t+3acost -[-12 cos2t+3esin st)dt t =/1/2+ +3a ゆえに 1/2+3 +3a=a これを解く a= 3 これを①に代入して f(x)=sinx- 110 f(t)=1+cost cost とおき, f(t)の不定積分の1つをF(t) とすると cost lim 0x Jo 1+cost -dt=lim 0 F(x)-F(0) x-0 =F'(0)=f(0)= =1/2

途中何が起きているのか分からないです、助けてください

d dt d 1 x²+0 = 1/4+ y² dt 2 2xx dx-2yx dy dt dt

矢印のとこの変形がわからないです 1/xが(logx）'なのは気づけたのですがその先の変形を教えてください

V = π √ ³ x² dy =√22. = πT = π 1 (log x) 2 (2 log x 3) - X dx 3 X 3 ✓ {2(log x) ³ - 3 (log x)²} (log x)' dx 4 - »)³],*^ J = = [ = (log x)" — (log =* − 1 )" } {/(-1/2)-( 5 32 πT - 2 3

この問題って先にh=4ってやってはいけないのですか。

214 基本例 例題 126 一般の量 底面の半径が5cm, 高さが10cm 1の直円錐状の容器を逆さまに置く。こ 2cmsの割合で静かに水を注ぐ。 水の深さが4cm のものを求めよ。 (1) 水面の上昇する速さ この 1 になる瞬間において、 (2) 水面の面積の増加する割合 /p.209 基本事項 t秒後の水の体積V, 水面の半径r, 水の深さん, 水面の面積Sはすべて時間によって 指針 変化する量である。 この問題では,水の体積の増加する割合 (速さ)がCV dt dt ) dh, (2) ds dS dt の値であるが、 られている。 求めたいものは,h=4のときの (1) で 問題ではh, Sをそれぞれt で表すよりも各量の間の関係式を作り、それをして 分する (合成関数の微分) 方法が有効である。 t秒後の水の体積を cm とすると 基本事項 1 1次 2 解 2次 1次の 関数 は dv 解答 -=2(cm/s) (1) dt 10 (1) t秒後の水面の半径をrcm, 水の深さをん cm とすると h 条件から r:h=5:10 よって r= これを1/2に代入してv=1/2=(1/2)n=1/2 h 1 π h лh³ dV 1 dh 両辺を tで微分して = Th² 2 dt (1)は,次のように てもよい。 4 dt ①から 2= 2 πh²dh dh 8 V=2t & V= ゆえに 4 dt dt лh² よって, h=4のと dh 8 から たん 1 dt π42 2π (2) t秒後の水面の面積をScm² とすると = (cm/s) 両辺を微分して S=ur2 1= h r= を代入して 1 S==Th² 2 4 両辺を tで微分して dS 1 dh = Th- dt dt dh dt th ら h=4のときの水面の面積の増加する割合は, (1) の結果か dh_1(cm) dt 2π よって,h=4のとき dS 1 dt 2 2π л•4• =1(cm²/s) 「練習 表面積が4cm²/s. す ま E

？を書いたところの途中式がわかりません 教えてください、

★★☆☆ Date 772 y= y = las cosa) =1052 [出] ★★☆☆ y.2 +1 22x+ Sind cos 1/6 例題 74 対数微分法 次の関数を微分せよ。 X 2x+1 (1) y=x(x-2)2 (2)y=xx (x>0) 思考プロセス 式を分ける 2x+11 (1)y= [x(x-2)J ↓ このまま合成関数・積商の微分法を用いるのは大変 2 S 両辺の絶対値の対数をとると, 積和,商→差,乗→倍になる loglyl=131 -{log|2x+1|-log|x|-2log|x-2|} 6 微分しやすい 法 J(x*)' = = nxx-1 と混同して(x*)'xx-1=x (2) logy=logx* =xlogx 関数の (a*)' = a*loga と混同して (x*)x*logx 両辺の対数をとると ←積になる Action» 積,商, 累乗のみで表された関数の微分は, 対数微分法を利用せよ (1) 両辺の絶対値の対数をとると 2章 いろいろな関数の導関数 微 解 clogy|=log| 2x+1 = x(x-2)2 log |2x+1| |x|lx-212 = //{log|2x+1|-log|x|-210g|x-2|} 両辺を x で微分すると y' 1 / 2 1 2 y .48650-2 32x+1 x x-2 4x2+3x-2 y= a 2 x y J 2x+ if - y= 2x+1 log x(x-2)2 = log 3/ |2x+1| |x||x-2|2 |2x+1| =log| |x||x-2|2 00~ 合成関数の微分法を用 いる。 特に, 左辺に注意 する。 d 2x logy= ・2 = - よって y' = 3x(x-2)(2x+1) 4x2+3x-2 3x(x-2)(2x+1)y 4.x2+3x-2 3.x(x-2)x(x-2)^(2x+1)2 (2)x>0 のとき両辺は正であるから, 両辺の対数をとるとx>0よりy=x>0 logy = xlogx 両辺を x で微分すると であるから, 両辺は正で ある。 n ý = (x)'logx+x (logx)、 y =logx+1 よって y′ = (logx+1)y = (log.x+1)x* 74 次の関数を微分せよ。 -9 右辺は積の微分法を用い る。 (xx)=xxx-1ではない ことに注意する。 (2) y=xsinx (x>0)

対数関数の導関数の単元に関して質問が２つあります。基本問題でa,b,cそれぞれ微分しろという問題でした。 cに関してlnx/2が1/2xになってしまうのですが、なぜ1/xになるのでしょうか。問題に解答しかないので途中式をお願いしたいです😖😖 またaやbのように元の式が分数... 続きを読む

X c) In₁₂ 2

（2）を解答とは異なる方法で解いたのですが答えが合わないです。どこが間違っているのか教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

yg 10-2 11/15 11/18 11/30 1/19 xy 平面において, 曲線 y=e*上を動く点Pの時刻 t における座標を (x, y) と表し, dt2 Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ= (dat (dx, dy) & a = ( d²x, d²y) とする。すべての時刻で||=1かつ>0であるとして, 次の問に答えよ. dt (1)Pが点(s, e) を通過する時刻における速度ベクトルをsを用いて表せ. (2)Pが点(s,e) を通過する時刻における加速度ベクトルをs を用いて表せ. (3)Pが曲線全体を動くとき,|a|の最大値を求めよ. d dx + · {e²(1+e") }} di { e² (1 + e²)±² + e² (¥) ( 1 + e³) e*(1+ e* 1+ } { ex It ex ex Jltea }itten ex ex 1+ e 2x ex. X+ex (1+mx)2 (1+zx)2

(2)です。dy/dxを求める式でtany^2がxの関数であるからxで両辺を微分した時に合成関数の微分からdy/dxが出てくるのはわかるのですが、なんか納得できないです。もう少し細かくここの微分をおしえてほしいです。

2 条件x=tany を満たす, 実数xについて微分可能なxの関数」を考える。 ただし, π <yくとする。 2 (1) x=3のとき, yの値を求めよ。 dy d2y および をxの式で表せ。 dx dx2 しのなその占in

なぜ接点が1/e²になるか分からないです。

log.x (log.x)' 合成関数の微分 log.x. -2) logx+2=logx-(-2) の符号は y=logx と y=-2 のグラフの上下関係からわかる y=logx y+ 1 0e2 1 f(x) なる. 1) 1 X + -2 y=-2 2 で最大となり

数Iで、なぜ（2）のグラフがこのように場合分けされるのかがわかりません。教えてください。

重要 例題 71 定義域によって式が異なる関数 関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると き、次の関数のグラフをかけ。 2x (0≦x<2) (1) y=f(x) f(x)= (2) y=f(f(x)) 8-2x (2≦x≦4) 針 123 定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。 (2)f(f(x)) f(x)のxf(x) を代入した式で, f(x)<2のとき 2f(x), f(x)のとき 8-2f(x) (1)のグラフにおいて,f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x)≦4となるxの範囲 を見極めて場合分けをする。 (1)グラフは図のようになる(x) <2) 3章 8 関数とグラフ 0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2・2x=4x 解答 (2) f(f(x))=f(x) (0≤f(x)<2) 8-2f(x) (2≤f(x)≤4) よって, (1) のグラフから 1≦x<2のとき f(f(x)) =8-2f(x)=8-2.2x =8-4x (p+d 2≦x≦3のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x) =4x-8 3<x≦4のとき 上に任意の とり=16-4x f(f(x))=2f(x)=2(8-2x) よって,グラフは図 (2) のようになる。 (1) YA 4 2 (2) 4 変域ごとにグラフをかく。 (1) のグラフから,f(x) の変域は 0≦x<1のとき 0≤f(x)<2 1≦x≦3のとき 2≤f(x)≤4 3<x≦4のとき 0≤f(x)<2 また, 1≦x≦3のとき, 曲の式は 1≦x<2なら f(x)=2x 2≦x≦3なら --------- f(x)=8-2x のように2を境にして 式が異なるため, (2) は左 の解答のような合計4通 りの場合分けが必要に なってくる。 T 1 T I 1 0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 x (2)のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。 [1]f(x) が2未満なら2倍する。 [2]f(x)が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。 [右の図で、黒の太線・細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の 合成関数といい, (ff) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。 YA 8から2倍を 引く 47 2 0 4 x 2倍する