yg 10-2 11/15 11/18 11/30 1/19 xy 平面において, 曲線 y=e*上を動く点Pの時刻 t における座標を (x, y) と表し, dt2 Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ= (dat (dx, dy) & a = ( d²x, d²y) とする。すべての時刻で||=1かつ>0であるとして, 次の問に答えよ. dt (1)Pが点(s, e) を通過する時刻における速度ベクトルをsを用いて表せ. (2)Pが点(s,e) を通過する時刻における加速度ベクトルをs を用いて表せ. (3)Pが曲線全体を動くとき,|a|の最大値を求めよ. d dx + · {e²(1+e") }} di { e² (1 + e²)±² + e² (¥) ( 1 + e³) e*(1+ e* 1+ } { ex It ex ex Jltea }itten ex ex 1+ e 2x ex. X+ex (1+mx)2 (1+zx)2

(xy)は x= と考える。するとPはy(オ)=e を満たす (1) ※速度ベクトルの大きさ = 速さ S ここで心にしなので (2)2+(x)^= 1 ( 1 + e²x) (dx)² = dx at √ltezx x=x(大) y=y(大)とおくと y(大) の x(大) ①が成り立つ 両辺を大で微分すると d d=d(ex(x))←合成関数の dy e x (4) dx dt σ = (dx dy). ③ 微分 = (dx, ex dx) -② dx dt ②へ代入して ex +e よってえ=Sの時ア=(nite なので es 25 (2)単位時間あたりの速度の変化量を加速度という dt deg dt 北の関数 ③の両辺を+で微分すると ddy dx at (at) = d(e² d₁) d at () d = dt dk (ex.dt dx. ex { (dx)² + d + } 2X ((1+e² ) ) = 2x (1+ e² + ex €2x (1+zx)21 = - 木の間数 ex di dadi dit ex dx dt また④を微分して dx 1/(1+2) = = (1 + ")" (e")' d dx zezx dt d at 〃 - 11+2112

⑤へ代入して 024 2A2 = ex. よって { iten ex (1+zx)} (1+233)2 -ez (1+ρ^^)2 ex (1+zx) x=Sの時 〆 Remark. -ezs es (1+€²)2) (1+25) 2 1 (1+25) 2 SD=Jteax(ex) より et (1+zx)2 (-)