この問題の解き方を教えてほしいです。解説見てもわからなくて、、😢

L *(3) □ 122 次の条件を満たすように,定数aの値を定めよ。 (1)x+ax²+3x+1 を x+3 で割ると1余る。 *(2) ax²-2x2+ax-1 を x+2 で割ると11余る。

投稿が跨いでしまい申し訳ないです。 質問は一個目の投稿の3枚目の写真のピンクの蛍光ペンで線を引いてることについてで、ここに出題者の意図に合わない解答はダメと書いてあるのですが、今回の（3）の問題の解答（3枚目の写真の左下のアプローチのところの別解）で（1）、（2）の結果を使... 続きを読む

連立漸化式: 数列の剰余 35 自然数nに対して, 2つの数列{an},{bn} を a₁ =1, b₁ =4, An+1 = 2an + bn, bn+1 = 4an − br で定める. bn (1)an+1+tbn+1=k(an+tbn) がすべてのnについて成り立つよ うな tkの値が2組ある. その値 (11, k1), (t2, k2) を求めよ。 (2) a, b をn で表せ。 (3)an が16で割り切れるのはn=4のときだけであることを示せ 〔大阪医科大〕

解説お願いします🙏

7の多項式P(x) を x+2で割ると-9余り x-3で割ると1余る。 P(x) をxx6で割 ったときの余りを求めよ。

（1）は剰余の定理よりX＝1なのは分かるんですけど、（2）と（3）はどうしてX＝0なのですか？お願いします😿

nを正の整数とし, 多項式P(x) を と定める. P(x)=(x+1)(x+2)" (1) P(x) を x-1で割ったときの余りを求めよ. (2)(x+2)" をx2で割ったときの余りを求めよ. (3) P(x) を x2で割ったときの余りを求めよ. J3

なぜ大門5は二乗で割る時のあまりとそれの二乗ない版のあまりが同じなのですか

x+ax²+bx-a=x+(c+1)x2+cx+c+3 これがxについての恒等式であるから, 両辺の係数を比較して a=c+1,b=c, -a=c+3 ! これを解いて a=-1,b=c=-2 したがって α=-1,b=-2 5 〈整式の割り算と余り> (1) 1次式で割ったときの余り 剰余の定理 を利用 剰余の定理 Q+税 <解が 次不等式の解を, 2次関数 y=x+c e+ax+b<0 の解が α<x<B (α → f(x)=x2+ax+b とお 件から 関数 y=x2+ax+b のグラ･ 3.0) (2,0) るから 9-3a+b=0 ...... D 4+2a+b=0 ...... ② ②から a=1,b=-6 えに, bx-ax+10 から -6x2-x+1>0 整式P(x) を1次式ォーで割ったときの余りはP(a) って 6x²+x-1<0 すなわち (2 << (3) f(x) (x2)(x+1)で割ったときの余りをR(x) とすると, R(x) を (x-2) がって 求める解は ときの余りは、f(x) を (x-2)^ で割ったときの余りに等しい。 (1) f(x) を (x2)で割ったときの商をQ(x) とすると (x)=(x-2)2Q(x)+2x+1 よって (2)=(2-2)2Q(2)+2・2+1=5 4 数学重要問題集(文系) <<-A=BQ+R [abの求め方 ] 3 <x<2 を解とする2次不等式の1 (x+3)(x-2) < 0 を展開して x²+x-60 ax + b < 0 と係数を比較して ■に大学入試の準 と思われるも 高いと思われ . 1 数と式 A 1.〈因数分解 11/25 次の式を因数分解せよ。 (1) 2.x2+3xy-2y2-3x-y+1 (2)(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 ((3) a²(b-c)+b²(c-a)+c² (a−b) II A B 階に分けた。 0-21+ 必解 2. <無理数, 複素数の計算> 容的にも (1)√5+√2-√5-21 を簡単にせよ。 う。 ベルの問 (2) iを虚数単位とする。 このとき i+i+i+i="[ i+i+is+i+......+30= であり, である。 力のあ 10/20 3. <恒等式の問題〉 x a (1) 要中 b ①数と式 3 POND 標準問題 [14 中央大 経 ] [10 旭川大 保健福祉] [19 摂南大 (推薦)] がつについての恒 RL = alx+1)+ である。 (a-2c-1)x+ C-1=0 ht [11 大阪経大 (推薦)] [10 愛知大 ] (x-1)(x+1)=(x-1)+. (x-1)+(x+1)xについての恒等式となるとき, a=,b=,c=" である。 (2) a, b, c を定数とする。 x, y, zに対してx-2y+z=4 および 2x+y-3z=-7 を満たすとき, ax2+2by2+3cz=18 が成立する。 このとき, a = -", b=,c="□である。 二h= 1+2=8 by-52--15 y-Z y hlx-5)+2 [20 立教大・文系] [10 西南学院大・法, 人間科学] 人についての 4.割と余りから割られる式の決定〉 多項式x+ax²+bx-a をx+x+1で割った余りが-x+3であるとき 定数a, b の 値を求めよ。 ba=9 6 6 [11 名城大 経営 経 ] 5.〈整式の割り算と余り〉 「整式f(x) は (x-2)2 で割ると 2x +1余り, x+1で割ると26余る。 (1) f(x) を x-2で割ったときの余りを求めよ。 (2) f(x) (x-2)(x+1) で割ったときの余りを求めよ。 (3) f(x) (x-2) (x+1)で割ったときの余りを求めよ。 xtaxt x+1匹

（2）で、g（X）＝f（X）−Xとおくのはなぜですか？また、こう置いたことで、f（X）を（X−1）（X−2）（X−3）（X−4）（X−5）で割った時に本来余りが出る所を、g（X）で割ることで余りが無い式（2個目の黄色の式）にできるということですか？お願いします

x (1) 多項式 f(x) を x-1で割ったときの余りが1,x-2で割ったときの余りが2で あるとき, f(x) を (x-1)(x-2) で割ったときの余りを求めよ. (2)1,2,3,4,5 に対して, 多項式f(x)をx-kで割ったときの余りがんである とき,f(x) を (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5) で割ったときの余りを求めよ.

下線部引いたところの式変形がわかりません

-3x- 基本 55 を求めよ 重要 例題 57 高次式を割ったときの余り n めよ。 ①① 2以上の自然数とするとき,x”-1 を (x-1)2で割ったときの余りを求 (7) (2)x100+ 2x +1 を x2+1で割ったときの余りを求めよ。 指針 [学習院大 ] 基本 55,56 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 か.94~96 でも学習したように, 割り算の問題 等式 A =BQ+R の利用 がポイント。 Rの次数に注意, B = 0 を考える おける (x-1)(x-2 った余りを 97 2章 」った余りは ●項式または (12)ともに割る式は2次式であるから,余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが,それだけでは足りな い。 そこで,次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α°=1, 6°=1 a"-b"=(a-b)(a"-+a"-2b+a"-36²+......+ab"-26"-1)? (2)x2+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して, 複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 (+税 ) (1) x-1 を (x-1)で割ったときの商をQ(x),余りを ax+b とすると,次の等式が成り立つ。 て 1,2 b, co かりを見 解答 x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+b 両辺に x=1 を代入すると 0=a+b すなわち b = -a ①に代入して x"-1=(x-1)2Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 式)から 56= 練習 を利用。 二項定理の利用。 別(1) x"-1={(x-1)+1}"-1 =Cn(x-1)*+..+nCz (x-1)2 +nC1(x-1)+1-1 =(x-1)2 ×{(x-1)^2+…+nCz} taxan ゆえに、余りはnx-n ここで,x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2 +…+1) であるか また, (x-α)2の割り算は xn-1+xn-2++1=(x-1)Q(x)+q この式の両辺にx=1 を代入すると ら 10 剰余の定理と因数定理 7 1+1+......+1=α n個 よって a=n b = -αであるから b=-n 微分法 (第6章) を利用する のも有効である (p.323 重 要例題 201など)。 微分法 を学習する時期になったら, ぜひ参照してほしい。 ゆえに, 求める余りは nx-n (2)3x100+2x97 +1 を x2 +1で割ったときの商をQ(x), 余 りをax+b(a,bは実数) とすると,次の等式が成り立 つ。 3x100+2x97+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 両辺に x=iを代入すると 3100+27+1=ai+6 100=(z2)=(-1)=1, i°= (i)*i=(-1)*i=iである 5330-(0)9 20-(2)9 2300-(89 x=-iは結果的に代入 しなくてもよい。 から すなわち 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai a, b は実数であるから a=2,6=4 したがって、求める余りは 2x+4 実数係数の多項式の割り 算であるから、余りの係 数も当然実数である。 p.100 EX 39 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき x ” を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 57(2)x+x+x+4で割ったときの余りを求めよ。

この問題の具体的に考えるのところで、pが素数の時しか考えていないのですが、pが素数でない時はなぜ具体的に考えてないのでしょうか。解答ではpが素数か素数でないか分けるのではなく、3の倍数かそうでないかで分けているのですべてpで実験した方がよいのではないかと思ってしまいました。

3つの数, p+2, p+4がいずれも素数となるような整数をすべて求 めよ。 J 具体的に考える は素数であるから, かに素数を小さい順に代入してみる。 健 Þ 2 3 5 7 11 13 17 19 p+2 4 5 7 9 13 15 19 21 p+4 6 7 9 オー3m+10 11 15 17 21 23 (予想) 必ず3の倍数が を3で割った余りで Action すべて素数 Action» 文字を含む数が素数かどうかは, 剰余類を利用せよ 分類してみる。 含まれている。 思考のプロセス

マーカーが引いてあるところが分からないです。 なぜaxの二乗の所だけに代入してるのですか？

解答 x2-3x-1 f(x) を3次式(x+5)(x+2)2で割ったときの商をQ(x), 余りを ax2+bx+c とすると, 次の等式が成り立つ。 f(x)=(x+5)(x+2)2Q(x)+ax2+bx+c (a, b, c は定数) さらに,条件より, f(x) を (x+2)2で割ったときの余りがx+3であるから, ax2+bx+c を (x+2)2で割ったときの余りがx+3 となる。 すなわち ax2+bx+c=a(x+2)2 + x+3 よってf(x)=(x+5)(x+2)2Q(x) +α(x+2)2 + x + 3 剰余の定理により,f(-5)=-11 から a(-5+2)²+(-5)+3=-11 これを解くと よって, 余りは +x A+xA a=-1 -(x+2)2 + x +3=-x2-3x-1

数学2なんですが この説明がいまいちわからないんですが 剰余の定理と因数定理ってそれぞれどんな特徴があるんですか、？違いがよくわかりません… この説明もよくわかりません どなたか教えてください！！

⑦ 剰余の定理, 因数定理 (剰余の定理) 多項式P(x)を1次式x-αで割ったときの余りはP(α) (因数定理) 1次式x-αが多項式P(x)の因数である⇔P(α)=0 LIS