106 第3章 図形と方程式
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応用
2つの円
x+y=5
考例題
x+y2-6x-2y+5=0
の交点 A,Bと点(0, 3) を通る円の中心と半径を求めよ。
[解説] を定数として、 方程式
つまり、求める門の
を考えると, ③は, 連立方程式
(x+y-5)+(x2+y-6x-2y+5)=0
③
k=-2
(0, 3)
x+y-5=0
[x2+y-6x-2y+5=0
√5-
k=1
k=2
の解に対して常に成り立つ。
1
よって、kがどのような値をとっ
-√5
0
3
10
ても,③は2つの円 ① ② の交
B
√5
-√5
点A, B を通る図形を表す。
k=-1
なに
ってるこ
解
kを定数として
k(x2+y2-5)+(x2+y2-6x-2y+5)=0
(3)
15
代入して
4k+8=0
とすると,③は2つの円 ① ② の交点 A, B を通る図形を
表す ③点 (03) を通るとすると, ③にx=0, y=3を
ゆえに
k=-2
これを③に代入して整理すると
x2+y2+6x+2y-15=0
20
すなわち
(x+3)+(y+1)=52
よって、求める円の中心は点 (-3,-1), 半径は5である。
【補足】 応用例題6の③において, k=-1とおいて得られる方程式は、2つの
円の交点 A, B を通る直線を表す。
練習2つの円x2+y-4=0, x+y-4x+2y-60の2つの交点と点
36
25
深める
(1,2)を通る円の中心と半径を求めよ。
応用例題6において, 方程式 ③は2点A, B を通る円のすべてを表せるか。