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安 例題144 三角方程式の解の個数
00000
? は定数とする。 0 に関する方程式 sin20-cos0+α=0について,次の問いに答
えよ。 ただし, 002とする。
この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。
(2)この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ。
指針 cosx とおいて, 方程式を整理すると
解答
重要 143
x²+x-1-a=0 (1≦x≦)
前ページと同じように考えてもよいが、処理が煩雑に感じられる。そこで,
①定数αの入った方程式(x)=αの形に直してから処理に従い,定数α を右
辺に移項したx2+x-1=αの形で扱うと、関数y=x+x-1(-1≦x≦1) のグラフと直
線y=αの共有点の問題に帰着できる。
・直線 y=aを平行移動して, グラフとの共有点を調べる。 なお,(2)では
x=1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個,
1<x<1であるxに対して0は2個あることに注意する。
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4章
23
三角関数の応用
cosd=x とおくと,0≦02 から
-1≤x≤1
方程式は
(1-x2)-x+a=0
したがって
x2+x-1=a
f(x)=x2+x-1とすると f(x) = (x+√12)² - 15/1
(1) 求める条件は, -1≦x≦1の範囲で, 関数 y=f(x) の
グラフと直線 y=αが共有点をもつ条件と同じである。
この解法の特長は, 放物線を
固定して, 考えることができ
るところにある。
グラフをかくため基本形に。
COSAをxとおいた代数のグラブ
y=f(x)
i y=a
1
[6]+
よって、右の図から
≤a≤1
[5]
(2)関数y=f(x) のグラフと直線 y=αの共有点を考えて,
求める解の個数は次のようになる。
[4]
5
[1]a<21<a のとき 共有点はないから 0個
[3]-
[2]
1x
[2] a=-
2 のとき,x=-1/23 から 2個
XA
1
65
[6]-
[5]-
[3] <a<-1のとき
0
2π
[4]-
[2] -
[3]
-1<x</1/1/1/2
2'
-12<x<0の範囲に共有点はそ
[4]-
-1
1
2
れぞれ1個ずつあるから 4個
[4] α=1のとき、x=-1,0から3個
④を動かした三角関数のグラフ(国期
[5] -1 <a<1のとき, 0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個
[6] a=1のとき,x=1から1個
宇数の値の範囲に
