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αの
で
基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数」の
値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
フを
89
指針 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解を α,βとする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつβ-1>0
p.87 基本事項 2
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号
以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては、 解答副文の別解 参照。
2章
9 解と係数の関係、解の存在範囲
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数
解答 別式をDとする。
D —=(− p)² - (p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2)
4
解と係数の関係から a+β=2p, aβ=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
20 かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(B−1)>0
D≧0 から
よって
(p+1)(p2)≥0
p≤-1, 2≤p
①
(α-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から
2-20 よって p>1
......
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1)=(p+1)(p-2)≧0,
軸について x=p>1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p <3
YA x=p_y=f(x)
26
3-p
+
a
0
1
B x
(a-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から
200 p+2-2p+1>0
よって
<3
(3)
求めるかの値の範囲は, 1, 2, S
②
① (2) f(3)=115p < 0 から
11
③の共通範囲をとって
-1 123 p
p> 55
2≤p<3
(2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は
(a-3)(B-3)<0
題意から α=βはあり
えない。
ー
すなわち aβ-3(a+β)+9 < 0
ゆえに
= 3300 0
p+2-3・2p+9< 0
me
よって >1/
練習 2次方程式 x
p>
52 の範囲を定めよ。
$50 arm
2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数αの値
E2
