7Co 1+70
EX (1) (1+x)"(1+x)"=(1+x) 2 の展開式を利用して, 等式 „C2C2+C=Cが成り
3
立つことを証明せよ。
(2)n≧2 のとき, 等式 n C1+2nCz+3,C3 +......+nnCn=n2"-1 が成り立つことを証明せよ。
●(3) (2x-1)を展開したとき、すべての項の係数の和はである。
(1) (1+x)"(1+x)"="ConCotnix++ Cmx")
Cx("Co+nCx+....+hCnx") +......
+nCmx" (nCo+nCx+......+nCx)
ゆえに,(1+x)"(1+x)" の展開式において, x” の項の係数は,
nCk=nCnkにより
[(3)近畿大]
←(1+x)" %
=nCo+rCix+••••・・
nCo•nCn+nC₁•nCn−1+ + n Ck • n Cn - k + +nCn•n Co (8) 201
=nCo2+nCi2+•••••••••••+nCn2
2n
←展開式の一般項は
一方,(1+x)2" の展開式において, x” の項の係数は 2n Cn
したがって nCo+„C12+..+nCz2=2nCmple
n!
(n-1)! De
(2)km=k·
=n°
k!(n-k)! (k-1)!(n-k)! S=10
=nn-1C-19
また
2"-1=(1+1)"-1
>
=n-1Co+n-1C1+n-1C2+..+n-1Cn-1
inCrxr
①
+b)"-1 の展開式で
よってこれらのことから
a=b=1とおく。
nC1+2nC₂+3nC3+ ··· + n nСn S)(0,1)=(p)
=n(n-1Co+n-1C1+n-1C2++n-1 Cn-1)
.p
24
←C=Coなど。
=n•27-1
-10-09-2016-12-0
