-
![]()
0
ことは、各日
重要 例題 25
少なくとも~ すべての~の証明
α, b, は実数とする。
0000045
〇ではない
基本23
33
しばな
る。
とおく
(1) abc=1, a+b+c=ab+bc+ca のとき, a, b, cのうち少なくとも1つは1
であることを証明せよ。
Beb
(2) a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b, cはすべて1であることを証明せよ。
指針 まず、結論を式で表すことを考えると、次のようになる。
(1) a, b, c のうち少なくとも1つは1である
こなっ
辺
すると
が多
た
a-1または6=1 またはc-1
こういう式
で
結論 (a-1)(6-1) (c-1)=0
大 (2) a,b,cはすべて1であるα=1 かつ 6=1 かつ=1
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c1=0
⇔ (a-1)+(6-1)+(c-1)=0
⇔a=1=0 または 6-1=0 または c1=0
1
ゆでてくるのか
*********
Cls
よって、条件式から,これらの式を導くことを考える。 このように, 結論から方針を立て
大ることは、証明に限らず、多くの場面で有効な考え方である。
このうちどれかが
結論からお迎えに行く
であれば
X=1となる
CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く
10
ら
解答
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
【大工〕 P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
る。
(1) P= (a-1) (6-1) (c-1) とすると
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
よって α-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
したがって, a, b, c のうち少なくとも1つは1である。
(2)=(a-1)+(6-1)+(c-1) とすると
+d+Q=a²+b²+c²-2(a+b+c)+3
ここで, (a+b+c)2=a2+b2+c+2(ab+bc+ca) であるから
[火a'+b2+c2=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=3°-2・3=3
ゆえに Q=3-2・3+3=0
よって α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
したがって, a, b, cはすべて1である。
ABC = 0
⇔A = 0 または B = 0
またはC=0
6+0 (1)
R
A'+B'+C2=0
⇔A=B=C=0
