-
![]()
-
![]()
基本例題156 第2次導関数と等式
(1) y=log (1+cosx) のとき, 等式 y" +2e-2=0 を証明せよ。自
(2) y=e2sinx に対して, y"=ay + by となるような定数a, bの値を求めよ。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本155
指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに
の恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,e-lをxで表すには、等式 elogp=を利用する。
(2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
1+cosx
また,
ゆえに
y'=2.
y"=-=
ゆえに
よって2
2{cos x(1+cos x)-sinx(-sinx)}
t0) %5
2(1+cosx)
(1+cos x)²
2e-2²²=22
ež
y=log(1+cosx) であるから=1+cosx
2sinx
1+cos x
1+cos x
(1+cosx)
Snie$=$200x630
2
1+cosx R S CHI CV Quasinx+cosx=1(g)
=e2x(3sinx+4cosx)
2
1+cos x
(②2)=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx)
y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx)
①
これを解いて
2
1+cos x
-+ =0+x8}nie!!
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y'=ay+by' に ①, ② を代入して料 ①
0
e2x
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
I
ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =" (²x\\\
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ...
4=b
log M = klogM
なお、-1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
π
また、x=27072 を代入して 3e"=e" (a+26)
a+20)
lelogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
(e) (2 sinx+cos x)
|_ +e2(2sinx+cosx) [
[参考] (2) のy"=ay + by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう(詳しくは p. 473 参照 )。
③が恒等式 ③にx=0,
π を代入しても成り立つ。
右辺==-5,6=4
このとき。
⑩③の右辺)=e^x {(-5+2・4)sinx+4cosx)=(③の左辺逆の確認。
したがって
a=-5, b=4
267
- Jel
"ry'=0を証明せよ。
00
5
