研究 15
【研究例題 15 隣接 3項間の漸化式
次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。
口 (1) α=0,α2=5, an+2=an+1+6an
口 (2) a1=0, a2=4, an+2=4an+1-4an
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(2) x=4x-4 を解くと, x²-4x+4=0,
x=2
x ²-4x+4=0, (x-2)=0
よって、与えられた漸化式は,次のように変形することができる。
an+2-2an+1=2(an+₁-2an) 5
⑤より、数列{n+12an}は,初項 α2-2a=4-2.0=4,公比2の等比数列
であるから, an+1-24m=4.2"-1=2"+1
⑥ の両辺を2+1 で割ると,
******
an+L an
2+1 2"
-
.....
=1
jp.45
an
a=b, とおくと, bm+1-bn=1 より,数列{bn}は,初項 b, =01= 0,公差
2"
1の等差数列であるから, bn=0+(n-1).1=n-1
よって,
an=2".bn=(n-1) ･2"
