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例題
31
不等式の
次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなと
きか.
(1) a²+b²≥ab
① (2) a²+6²+c²≥ab+bc+ca
考え方 不等式の証明の基本は, 差をとることである. (p.54 参照)
2次式の場合、平方完成して,
RIOR
解答 (1) (左辺) (右辺)=a+b2-a
cus,
6\2
= (a − b )² +
2
-{a²-ab+(2)²-( 2 )²} + b² = (a - b) ² - 1 - 6 ² +
=
3
の形にする.(20本
- 62
4
6² +6²a²-2a.
2
b
(a- ²≥0, 36²²0 x0, (a−b )² + 3² / 6²
21/0²/20
2
2
①……①+
よって、 不等式 a2+62 ≧ab が成り立つ、歩
等号は、①より,a
b
21/12 = 0
= 0 かつ b=0
FOKO
b+d<3+o
d+p²+q²=0
つまり, a=b=0 のとき成り立つ.
(2) (EL)–(EL)=a²+ b²+c²-(ab+bc+ca) << (S)
{2a²+26² +2c²-2(ab+bc+ca)}
=1/12 -{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
LEO
(a-b)2≧0, (b-c)2≧0,c-a)^≧0より,
=(-12) ²
4 + (9
b
a-12 は実数で、
(実数)2≧0
2
=1/12 (²-2ab+6²)+(6²-2bc+c2)+(c2-2ca+α²)}do
O b<.06 0<d
{(a−b)²+(b-c)²+(c-a)²³} ≥0<
2
よって、不等式 a²+b2+c°≧ab+bc+ca が成り立つ.
等号は①より, a-6=0かつb-c=0 かつc-a=0
つまり、a=b=cのとき成り立つ.
01
⇔p=g=0
od ここがポイントである。
h\2
(19.0
a-b, b-c, c-alt
実数で
(実数) ≧0
p²+q²+r²=0
⇔p=g=r=0
する。)
