EX
③ 42
次の命題の真偽をいえ。真のときにはその証明をし、偽のときには反例をあげよ。ただし、
y,zは実数とし,(2),(3)については, 25 無理数であることを用いてもよい。
(1)x3+y+z=0, x+y+z=0のとき, x, y, zのうち少なくとも1つは0である。
(2)x2+xが有理数ならば, xは有理数である。
(3)x,yがともに無理数ならば, x+y, x2 + y2 のうち少なくとも一方は無理数である。
HINT (1) x, y, zのうち少なくとも1つは 0xyz = 0
(1) 真
(証明) x+y+z=0から z=-x+y)
x+y+z=0に代入して
ゆえに
x+y-(x+y)=0
(x+y)-3xy(x+y)-(x+y)=0
(1) 立教大,(2),(3) 北海道大
合
職
b) {5}
したがって, x, y, zのうち少なくとも1つは0である。
よって -3xy(x+y)=0 すなわち xyz=0
←x +y3
188
=(x+y)-3xy(x+y)
