EX ③ 42 次の命題の真偽をいえ。真のときにはその証明をし、偽のときには反例をあげよ。ただし、 y,zは実数とし,(2),(3)については, 25 無理数であることを用いてもよい。 (1)x3+y+z=0, x+y+z=0のとき, x, y, zのうち少なくとも1つは0である。 (2)x2+xが有理数ならば, xは有理数である。 (3)x,yがともに無理数ならば, x+y, x2 + y2 のうち少なくとも一方は無理数である。 HINT (1) x, y, zのうち少なくとも1つは 0xyz = 0 (1) 真 (証明) x+y+z=0から z=-x+y) x+y+z=0に代入して ゆえに x+y-(x+y)=0 (x+y)-3xy(x+y)-(x+y)=0 (1) 立教大,(2),(3) 北海道大 合 職 b) {5} したがって, x, y, zのうち少なくとも1つは0である。 よって -3xy(x+y)=0 すなわち xyz=0 ←x +y3 188 =(x+y)-3xy(x+y)