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あるから
(ab+bc)-(b+ca)
=(a-b)(b-c)>0
1章 方程式 式と証明 35
=2{(x-1)^-12}+3
=2(x-1)+1 > 0
51of
=(x-2y)+(2y)+5y2
ゆえに 2x2 +3 > 4x
ゆえに ab+bc > b2+ca
721
117 (1)x+5y24xy
(
D
115 (1) (x+1)-2x
x²-2x+1
=(x-1) ≧0
ゆえに x + 1 ≧ 2x
=(x-2y)2+y^
等号が成り立つのは, x-1 = 0,
すなわち x=1のときである。
(2)
(9x2+4y2)-12xy
9x-12xy+4y
= (3x-2y) ≧0
ゆえに 9x2+4y2 ≧ 12xy
(3)x+y)2+(x-y)2}-4xy
S
等号が成り立つのは, 3x-2y = 0, す
なわち 3x=2y のときである。
した。
=
(x2 + 2xy + y2 + x2 -2xy + y2)
-4xy
2x+2y2-4xy
=2(x²-2xy+x2)
=2(x-y) ≧0
&&
ゆえに (x+y)2 +(x-y)≧4xy
等号が成り立つのは, x-y= 0,
すなわち x=yのときである。
(4)
= (x2y2 + x° + y° +1))
これも正である。
-(x2+2xy+y)
(x+1)(y2+1)(x+y)
+6=xave-2xy+1
= = (xy-1)20
ゆえに (x+1) (y2+1) ≧ (x + y)2
等号が成り立つのは,xy -1 = 0,
すなわち xy=1のときである。
116 (1)x+12-6x平(S)
(2)
=(x-3)2-32+12 \_s)
(x-3)+3>08)
ゆえに x2 + 12> 6x
2x2+3-4x
=
(2)
(x-2y)20, y'≧0 であるから
(x-2y)²+ y² ≥0
よって(x+5y2 ≧4xy
等号が成り立つのは,x-2y0 かつ
y = 0, すなわち x = y=0のときで
ある。
x2+y2+2x-4y +5
fp = (x2+2x+1)+(y2-4y +4)
=(x+1)+(y-2)^o
(x+1)^≧0, (y-2)^≧0 であるから
(x+1)2 + (y-2)2≧0
よって+x + y'+2x-4y+5≧0
等号が成り立つのは, x+1=0 かつ
(y-2=0, すなわち x = -1 かつ
y=2のときである。
さ
118 まず, ab+cd> ac + bd を考える。
(ab+cd) - (ac+bd)
= a(b-c)-d(b-c)
0
=(a-d)(b-c)
B
a>d, b>ch, a-d>0, b-c>0
あるから
(ab+cd)(ac+bd)
=(a-d)(b-c)>0
ゆえに ab+cdac+bd
次に, ac+bd > ad + bc を考える。
(ac+bd)-(ad+bc)(S)
=a(c-d)-b(c-d)
=(a-b)(c-d)
e=e
a > b, c >d より, a-b>0,c-d>
あるから
(ac + bd) - (ad+bc)
=(a-b)(c-d) > 0
(8)
1
