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258 第4章 三角関数
Think
132 三角関数の最大・最小 (1)
次の問いに答えよ。
****
(1) 058-2 のとき、y=cos'0-2sin 0-1 の最大値、最小値を
求めよ、
(2) 関数 y=2cosasin' は定数) において 0 が ISIS
2
の範囲で動くとき, yの最小値を求めよ、ただし, a<0 とする.
(立命館大改)
考え方 例題 130 (p.255) と同様に、まずは三角関数の種類を統一する。
解答
sind や cose を とおくと、関数yは1の2次式で表すことができる。
0 の範囲に注意してtの値の範囲を考える.
(1) 与えられた式に cos'01-sin' 0 を代入すると
y=-(1-sin°0)-2sin0-1
与えられた式に sin'0=1-cos' を代入すると、
y=2costa(1-cos')
=acos' 0+2coso-a
2
2 いろいろな角の三角関数 259
03=1とおくとより、-12S11であり、
y=af+2t-a
tar+2t-a とすると,040 より
f(t)=a(t+1)
a
a
y=f(t) のグラフは、袖の方程式 (0) で、
上に凸の放物線である。=100
741020
a
1/2sts1 の中央は、t=1である。
1のとき
また、
(i)
ここで,sin0=t とおくと,002 より
a
であり。
文字でおくときは、そ
ao より
>=sin²0-2sin 0-2
の文字のとる範囲
注意する。
a<-4
f(t) の最小値は,
_m=f(1)=2
文字でおくときは、そ
の文字のとる値の範囲
に注意する。
y=f-2t-2
=(t-1)2-3
したがって, 1st≦1 において,
1-1のとき、最大値1
t=1 のとき 最小値-3
ここで,
t=-1. すなわち, sin0=-1 のとき,
3
0=
002mより02/23
t=1, すなわち, sin0=1 のとき,
002 より 0=
2
1
のとき
a
ao より
(f)の最小値は
-4≤a<0
3
m=fl
m=
2
3
a-
(a<-4)
Ca-1 (-1sa<0)
(ii)
72
よって、0=2のとき最大値1
B=1のとき、最小値-3
Focus
sin / と cos を含む式の最大最小では、 三角関数の種類を統
一してから、文字でおき換える
4a
