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次の事柄が成り立つように, 定数 α, bの値を定め
基本例 113 2次不等式の解から不等式の係数決定
0000
(1) 2次不等式 ax2+bx+3>0の解が-1<x<3である。
(2) 2次不等式 ax2+bx-24≧0 の解がx≦-2, 4≦x である。
指針 2次不等式の解を, 2次関数のグラフで考える。
f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると
① [a>0]
[a<0]
+
①f(x)>0の解が x <α, β<x (a<β)
⇔y=f(x) のグラフが,x<α, β<x のと
a
Bx
きだけx軸より上側にある。
⇔a>0 (下に凸), f(x) = 0,f(B)=0
② f(x)>0の解が α<x<B
⇔y=f(x) のグラフが,a<x<βのときだけx軸より上側にある。
⇔a<0 (上に凸),f(a) = 0,f(B)=0
(8-5) (0-
(2) 不等号に等号がついているが,上の⇔の内容はそのまま使える。
>(n+1)(s+x) oct
(1) 条件から, 2次関数y=ax2+bx+3のグラフは,
(1)
[a<0]
解答
1 <x<3のときだけx軸より上側にある。
もよ
すなわち, グラフは上に凸の放物線で2点 (-1,0),
(3,0) を通るから
—
-1
13
a< 0, a-b+3=0 ･･
......
①, 9a+36+3=0.
②
① ② を解いて
α=-1,6=2
は、す
これはα < 0 を満たす。
別解 -1<x<3 を解とする2次不等式の1つは
(x+1)(x-3)<0 すなわち x2x-3<0
両辺に-1を掛けて
x²+2x+3> 0
ax2+bx+3>0と係数を比較して
α=-1, 6=2
(2)条件から,2次関数y=ax2+bx-24のグラフは,
x<-2, 4<xのときだけx軸より上側にある。
すなわち, グラフは下に凸の
して
α <βのとき
(xa)(x-3)<0
⇔a<x<B
ax2+bx+3>0と比較
るために、定数項を +
にそろえる。
(2)
