練習236(1) 393 を 7で割ったときの余り,および 20 で割ったときの余りを求めよ。
(2) 700+ 7200 +7900 を 43で割ったときの余りを求めよ。
(3) すべての自然数nに対して2n+4 + 52n+1 は 21の倍数であることを示せ。
(4) すべての自然数 nに対して18*+1 + 2°(-21)”は 13の倍数であることを示せ。
(1) 3° = 27 = -1 (mod 7) であるから
33 = (3°)1 = (1) = -1 (mod 7)
よって, 3%3 を7で割ったときの余りは 6
次に,3* = 81=1 (mod 20) であるから
333 = 3(34)83 = 3·183 = 3 (mod 20)
*まず,3" =1(mod7) と
なる自然数mを見つけ
ることを考える。
3" =1 (mod7) となる自
然数 m が見つけにくいと
きは,3" = -1 (mod7)
となるmを考える。
ケ
よって,33 を 20 で割ったときの余りは 3
(2) 73 = 343 =8·43-1= -1 (mod 43) であるから
7100 + 7200+ 7900 =7(7°)33 +7°(7°)66 + (7°)10
=7(-1)33 + 49(-1)6 +(-1)100
= -7+49+1= 43 = 0 (mod 43)
よって,7'00+7200 + 700 を 43で割ったときの余りは 0
(3) 22+4 + 52*+1 - 24.21 +5.52%
16·4" +5·25"= 16·4" +54
= 21·4" = 0 (mod 21)
25 =D 21·1+4 より
25 = 4 (mod 21)
とって、すべての自然数nに対して21+4 +5°%+1 は 21 の倍数である。
(4) 18*+1 + 2°(-21)” = 18·18" + 8(-21)*
= 18·5" +8·5%
18 = 13·1+5,
= 26·5" = 0 (mod 13)
-21 = -2·13+5 よ
すべての自然数nに対して18**! +2°(-21)* は 13の倍数で
18 = -21 =5(mod 1
ある。
