32の⑵の問題で横にqが分数の場合は〜と買いてありますが、なぜ二分の一のn+1乗で両辺割らないんですか？ 上のチャートandソリューションではn +1乗で割ると買いてますが、

330 -数学 B -(2(n+1)-3)=-3{an-(2n-23) また a+- a1-(2·1-2)- したがって、数列{0.-(2-2)は、初項 12.公比-3の 等比数列であるから a.-(2n-12/3)-1/2/3(-3)m ゆえに an=- G-1+2n- 400 基本 例題 32 an+1= pantq 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{az} の一般項を求めよ。 41=3, an+1=24-3 +1 CHART & SOLUTION 漸化式 = pan+g" (p≠1) ① 両辺を "+1 で割る ②両辺 で割る 形 bnon とおくとbatic/bt/1 9 もの係数が1 ♡が解消 b=0 とおくと bm=i.bnt- これを整理すると an+1+3a-4(2n-1) に戻る。 (2) 8ant=ant 2 の両辺に 2” を掛けると 4.2"+αn+1=2"α+3 ba=2" とおくと 461=b+3 よって bn+:=b+3 . PR 次の条件によって定められる数列 (a)の一般項を求めよ。 3 ③ 32 (1) α=5, +13 +2.5 +1 (2) a1=1,8as+1=0n+2 (1) an+1=3a+2.5 +1 の両辺を5+1 で割ると b= とおくと bn+1=b+2 これを変形すると ba+1-5=(bn-5) またb-5-5-12-5=-4 よって, 数列{bm-5} は初項 -4,公比 1232 の等比数列である 56-5=(-4)-(3) したがって \n-1 ゆえに b" =5-4・ α=5"6=5"+1-20-3-1 別解 α+1=30万 +2.5 +1 の両辺を3"+1で割ると = 5\+1 bn=1 とおくと bury = bu+2.23) また b= ba+=b+2-1 よって, n≧2 のとき 6=61+ \k+1 2. ① n=1 とすると b=1/3であるから,①はn=1のときにも成り立つ。 ゆえに a-3b=5*1-20-3"-1 1 (1) a₁=1, an+1 基本 例題 33 次の条件によって定められる数列 分数型の漸化式 1 -=3"-1 an CHART & SOLUTION 分数型の漸化式 逆数を利用 (2)漸化式の両辺の逆数をとると その式において,b= とおく am 第1章 数列 -331 1 とおくと b (1) bran +1=pan+g" にお 1章 いが分数 (-1/2) PR の場合である。 2-3 (12) と考え. (1/2)" で割る。すなわち n≧2 のとき b2=1/2=1から a であるからこの したがって (2) a 2=1/10, および bm=bi b=1 an-3- これを変形すると bn+1-1= (bn-1) また b-1=2′・α-1=2・1-1=1 よって, 数列{bm-1} は初項1,公比 1/12 の等比数列であるから bm-1=1-(1) 2" を両辺に掛ける。 ゆえに bn=1+(1) したがって am= (1) 別解 8an+1=an+ の両辺に 8” を掛けると 8"+1an+1=8"an+3.4" f(n+1)+1 =f(n)an+の形にす る方針。 -234+2を解くと b=8"α とおくと bm+1=6+3.4 RA a=5 また b1=8′・α=8.1=8 よって, n≧2 のとき C=b-5 とおくと bm=b1+23.4=8+ 3-4(4-1-1) 4-1 =4+4 ...... ① Cn+1 Cnti-C n=1 とすると 4'+4=8 ③33 3 {bm} の階差数列を {c} とすると 6,8 であるから, ① は n=1のときにも成り立つ。 ゆえに a= == bn 8" 8" 23-2 初項は特別扱い。 (2) a₁ = +1=- 4an+5 PR 次の条件によって定められる数列 (an)の一般項を求めよ。 1 (1)=1, 1-3n-2 anti an 1 an (1) bm= とおくと by+1bn=3n-2 n≧2 のとき Cn=bn+1-bn=2.33 bn=b₁+(3k-2) Σの中の初項は 1=1から b=- 数列 (b) の階差数列 の一般項が3ヵ-2 2(n-1)n-2(n-1) 2-7n+6) n=1のときにも成り立つ。 1 (3k-2) (n-1)(1+(3n-5)) としてもよい。 (初順1 末頃3n-5, 項 数n-1の等差数列の和 と考えた。) b=1で 初項は特別扱い。 よって 7n+6 に対して αn=0 となる 漸化式の両辺の逆数を an+1 よって an+1 1 とおくと b=- an b = 4 であるから したがって an PRACTICE 33 次の条件によって (1) a=1, An+1

2次がうまくいきません logのところの微分の仕方が分からないです わかる方いらっしゃいましたら教えて頂けると嬉しいです よろしくお願いします🙇🏻‍♀️‪‪

(0.0) (4) log10(2+x) f(x)=1010(2+) +1(0)=101102 -27 (0x102 +2/0/+/-10% 二次 10g102+2161 fra)= (2+2) (+£10 f'(0) = (109-102)=√16) = (2109 (0)' 1 210310 #30 (logax)' = 71029 x2 (1) 1+px+ P(p-1)x2 1 2 (2)1+1/2x-1232x2 (3) 1+x+/1/20 1 (3) log 102 + X -x2 2log 8log 10 * (0)t + (017 #cot

〔3〕の数字の選び方が理解できません。〔4〕のようにAの選び方は3通り、Bの選び方は2通り、合わせて6通りとしてもよいのですか？

解答 基本 例題 29 同じ数字を含む順列 00000 1,2,3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚 3枚 4枚ある。 これらのカー ドから4枚を使ってできる4桁の整数の個数を求めよ。 指針 基本 27 同じ数字のカードが何枚かあり (しかし, その枚数には制限がある), そこから整数を 作る問題では, まず 作ることができる整数のタイプを考える。 本間では,使うこ とができる数字の制限から、次の4つのタイプに分けることができる。 AAAA, AAAB, AABB, AABC A, B, C は 1, 2, 3のいずれかを表す。 このタイプ別に整数の個数を考える。 1,2,3のいずれかを A,B,C で表す。ただし, A, B, Cはすべて異なる数字とする。 次の [1]~[4] のいずれかの場合が考えられる。 [1] AAAAのタイプ つまり、同じ数字を4つ含むとき。 4枚ある数字は3だけであるから [2] AAAB のタイプ つまり、同じ数字を3つ含むとき。 1個 新金) 3枚以上ある数字は2,3であるから,Aの選び方は 2通り Aにどれを選んでも, Bの選び方は2通り ①とり出し方で場合分け ② 並べ方 Cat 1 3333 だけ。 - 222 □は1,3) または 377 章 ⑤組合せ そのおのおのについて, 並べ方は 4! =4(通り) 3! 333 □は1,2) よって、このタイプの整数は 2×2×4=16個) [3] AABB のタイプ 41122, 1133, 2233 つまり、同じ数字2つを2組含むとき。 1 2 3 すべて 2枚以上あるから,A,Bの選び方は AP J3C2D 1, 2, 3 から使わない数 を1つ選ぶと考えて、 3C通りとしてもよい。 4! そのおのおのについて, 並べ方は =6(通り) 2!21 よって、このタイプの整数は 2×6=18(個) C2=C₁=3 [4] AABCのタイプ つまり同じ数字2つを1組含むとき。 Aの選び方は3通りで, B, CはAを選べば決まる。112322133312 の3通りがある。 なお, そのおのおのについて, 並べ方は 2! (通り) よって、このタイプの整数は (個) 3×12=36 例えば1132は1123と同 じタイプであることに注 意。 以上から 1+16+18+36=71(個) SSD 4を使って4桁の整数を作る。 このよ

（3）でなぜFを考えているのですか？

00000 (2) 0≤aa2a3aas≤3 386 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4, (1) 0<al<ar<astas <as<9 α5) の個数を求めよ。 指針 (1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・, 個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。 → 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) 基本 32 8の8個の数字から異なる! (2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許 して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3 また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0 よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。 (1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 解答 さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が 1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (個) (2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順にα1, A2, ......, が1つ決まる。 α5 とすると,条件を満たす組 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと a1+a2+a3+a+a+b=3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60 ① よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個) 別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0 以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ るから 5Ho+5H1+5H2+5H3 =4Co+5C1+6C2+7C3 =1+5+15+35=56 (個) ← 等式 (2)(3)は次のようにして 解くこともできる。 (2)[p.384 検討 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1,2,3, 4, 5) とすると, 条件は 0<b<bz<b<ba<bs<9 と同値になる。 よって (1)の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕 切りを並べ、 例えば, |○||〇〇|| の場 合は (0,1,0,2,0) を表すと考える。 このとき |A|B|CD|E|F とすると, A, B, C, D, E の部分に入るO の数をそれぞれ, 2 a3, 4, as とすれば、 組が1つ決まるから 8C3-56 (1) 振り返り ●場合の数を によるのが ●代表的な (a+b)( 2700=2 . . 10人 10人を (ア)特 (イ) 牛 ・10人 異な ・10人 ・3本 ・正 (イ) ・10 . 10 ・a 組

マーカーのところどうしてこうなるのか教えてください。

8・15(金) 三角関数5 あやふやな知識は大事な時に役に立ちません。 関数 y= sincos+2sincos0 +1 がある。 また、x= sin-cos0 とお く。 (1)=2のときの値を求めよ。 (2) を rin (0+α) (r> 0, la≦α<) の形で表せ。 また, OMOS のとき, xのとり得る値の範囲を求めよ。 (3)yをxを用いて表せ。 また, 00S のとき, 方程式 y=k を満たすのが 存在するような定数の値の範囲を求めよ。 (1)聖のとき y= sin 1/2-008 / +28ium/cg/1/28+1 = 1-0+2.10+1 2 y=kをみたす日が存在するのは、 y=-x-1232+1/(x)のグラフと ykのグラフが共有点をもっとき。 したがって、右図より (2) X= sint-cso 〃 ·√2 sin (0-1) √ # また、0.≦日のとき、 この範囲において sin(0-6)≤ -1=√23in (0-7)=√2 -12 # (3) x²= (sino-cose)" 0 = silt -2sintas + custo 2 sino cos & = 1-x² y=x+(1-x^)+1 ビーズ+x+2 + また、y=-(ポール)+2 (2)より 9 「2なので、 グラフをかくと右図のように 0 なる。 なので、 99 ↑ # √ 29 71-(x-1772 (-16x35)

（3）でなぜFを考えているのですか？

00000 (2) 0≤aa2a3aas≤3 386 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4, (1) 0<al<ar<astas <as<9 α5) の個数を求めよ。 指針 (1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・, 個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。 → 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) 基本 32 8の8個の数字から異なる! (2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許 して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3 また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0 よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。 (1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 解答 さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が 1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (個) (2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順にα1, A2, ......, が1つ決まる。 α5 とすると,条件を満たす組 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと a1+a2+a3+a+a+b=3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60 ① よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個) 別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0 以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ るから 5Ho+5H1+5H2+5H3 =4Co+5C1+6C2+7C3 =1+5+15+35=56 (個) ← 等式 (2)(3)は次のようにして 解くこともできる。 (2)[p.384 検討 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1,2,3, 4, 5) とすると, 条件は 0<b<bz<b<ba<bs<9 と同値になる。 よって (1)の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕 切りを並べ、 例えば, |○||〇〇|| の場 合は (0,1,0,2,0) を表すと考える。 このとき |A|B|CD|E|F とすると, A, B, C, D, E の部分に入るO の数をそれぞれ, 2 a3, 4, as とすれば、 組が1つ決まるから 8C3-56 (1) 振り返り ●場合の数を によるのが ●代表的な (a+b)( 2700=2 . . 10人 10人を (ア)特 (イ) 牛 ・10人 異な ・10人 ・3本 ・正 (イ) ・10 . 10 ・a 組

（3）でなぜFを考えているのですか？

00000 (2) 0≤aa2a3aas≤3 386 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4, (1) 0<al<ar<astas <as<9 α5) の個数を求めよ。 指針 (1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・, 個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。 → 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) 基本 32 8の8個の数字から異なる! (2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許 して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3 また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0 よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。 (1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 解答 さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が 1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (個) (2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順にα1, A2, ......, が1つ決まる。 α5 とすると,条件を満たす組 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと a1+a2+a3+a+a+b=3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60 ① よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個) 別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0 以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ るから 5Ho+5H1+5H2+5H3 =4Co+5C1+6C2+7C3 =1+5+15+35=56 (個) ← 等式 (2)(3)は次のようにして 解くこともできる。 (2)[p.384 検討 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1,2,3, 4, 5) とすると, 条件は 0<b<bz<b<ba<bs<9 と同値になる。 よって (1)の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕 切りを並べ、 例えば, |○||〇〇|| の場 合は (0,1,0,2,0) を表すと考える。 このとき |A|B|CD|E|F とすると, A, B, C, D, E の部分に入るO の数をそれぞれ, 2 a3, 4, as とすれば、 組が1つ決まるから 8C3-56 (1) 振り返り ●場合の数を によるのが ●代表的な (a+b)( 2700=2 . . 10人 10人を (ア)特 (イ) 牛 ・10人 異な ・10人 ・3本 ・正 (イ) ・10 . 10 ・a 組

（2）の面積を求めるんですけど、 余弦定理を使うまではわかるんです。 なぜcosの値が√2/1ってわかるのですか。 点は移動しても常に√2/1になるのが、わかりません。 どなたか教えてください

第2問 (配点 30 ) [1] AB=6, AC=6, <BAC=90° の直角二等辺三角形ABC がある。 点P, 0. Rは次の規則に従って △ABC の辺上を移動する。 ・規則 ・Pは,辺AB上をAからBまで向きを変えずに毎秒1の一定の速さで移動し、 Bに到達した時点で移動を終了する。 ・Qは,辺CA上をCからAまで向きを変えずに移動し,Aに到達した後は CA上をCまで向きを変えずに移動する。 そして, Cに到達した時点で移動 を終了する。 ただし, Qは毎秒2の一定の速さで移動する。 ・Rは,辺BC上をBからCまで向きを変えずに毎秒√2の一定の速さで移動 し,Cに到達した時点で移動を終了する。 この規則に従ってP,Q,R が同時に移動を開始するとき, P,Q,Rはそれぞれ B, C, C に同時に到達し, 移動を終了する。 以下において, P,Q,Rが移動を開始する時刻を開始時刻, 移動を終了する時 を終了時刻とする。 (6-2x)+x+ 2/5 Q 36-24℃4℃ど 52-142736 B 36

青チャート　円と直線 ピンクの線を引いてある部分の意味がわからないです。教えていただきたいです。

163 いろいろな lの求め方 y Pl 重要 例題 103円の2接点を通る直線 0000 (5,6)から2+y2=9に引いた2つの接線の接点をP,Q とするとき,直 線 PQ の方程式を求めよ。 基本 102 指針円上にない点を通る, 円x+y=y2の接線であるから,基本方針は基本例題102と同 様。しかし、基本例題102と同じようにPQの座標を求めるとなると,この問題で はかなりの手間。 そこで、次の考え方による解き方を示しておこう (p.137 重要例題 も参照)。 85の P(p,g), Q('g')について,ap+bg+c=0, ap'+bg'+c=0 を満たすとき, 2点P, Qは直線 ax+by+c=0 上にある すなわち, 直線 PQ の方程式は, ax+by+c=0 である。 | 接点の座標を (x1, yi) とし て, 連立方程式 [x2+y2=9 |5x1+6=9 を解くと ●C(a,b) P(p, g), Q(', g') とすると, 解答 接線の方程式はそれぞれ - 傾き m P ( px+gy=9, p'x+α'y=9 点 (5,6) を通るから,それぞれ 5p+6g=9,5p'+6g' =9 を満たし、これは2点P(p, g), Qp',g') 直5x+6y=9上 にあることを示している。 (5, 6) P 3 3 45±36√13 X= -3 0 -61 Q 54+3013 61 と =e (複号同順) C(a, b) したがって,直線 PQの方程式は 5x+6y=9 ニゴ これは常に取り立 円の2接点を通る直線 極線 極 0-0 (x', y') P 検討 この例題の内容を一般化すると,次のようになる。 円x2+y2=reの外部の点(x,y) からこの円に引い PLUS ONE た2本の接線の接点をP, Q とすると, 直線 PQ の方 =0 を作る! すなわち、 程式はx'x+y'y=r2 である。 このとき、直線 PQ を点 (x', y') に関する円の 極線とい い, 点(x', y') を極という(右の図を参照)。 より Q 3章 79円と直線 練習 (1) 点 (2,3)から円x2+y2=10に引いた2本の接線の2つの接点を結ぶ直線の 方程式を求めよ。 (2) αは定数で, α>1とする。 直線l: x=α上の点P(a, t) (tは実数)を通り 円 C:x2+y2=1に接する2本の接線の接点をそれぞれA,Bとするとき, 直線AB は,点Pによらず, ある定点を通ることを示し, その定点の座標を求め 絶対値記 基本例題 103 次方程式 こなること 利点があ めにも よ。 MO [(2) 類 早稲田大 ] p.173 EX 67 AQ

(6)が解説を読んでも分かりませんでした。なぜこのような求め方をするのか、含めて解説をお願いします🙇‍♀️

問題 94 右の図は, 2次関数y=ax2+bx+c のグラフである。 このとき、次の値は正, 0, 負のいずれになるか。 (1) a (4)62-4ac (2) b (5) a-6+c (3) c (6) a-26+4c y x