下線部のようになるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

5 A 正弦・余弦の加法定理 次の等式が成り立つことを証明しよう。 cos(a+β)=cosacos β-sina sin β 【証明】 右の図のように, 動径OP と x軸 YA 10 の正の向きとのなす角を α+β とする。 A,Pの座標はそれぞれ > A(1, 0), P (cos (a+β), sin (a+β)) である。 2点間の距離の公式により -1 0 AP2={cos(a+β)-1}2+sin' (a+β1 18 =2-2cos(a+β) 15 次に, 2点A,Pを, 原点Oを中心に -αだけ回転した位置にある点を,それ ぞれ Q, R とすると, Q, R の座標は Q(cosa, -sina), R(cosβ, sin β) である。 2点間の距離の公式により YA 01 RM B -1 0 20 X 10 -α x QR2=(cosβ-cosa)+(sinβ+sina) =2-2(cosacos β-sina sinβ) AP = QR より AP2=QR2 であるから -15 2-2cos (a+β)=2-2(cosa cosβ-sin a sinβ) よって cos(a+β)=cosacos βsinasin β 終

赤線の部分 なぜ範囲がπ/4＜a＜π/2になるのか教えてください🙇‍♀️

意 きの 小さくなる。 したがって、 ほど cose の値は COS すものの中で cos の値が 最小となるものであるから 5 cos a l COS Q= を満た f2=sinx +2sinx cosx+a's 三角関数の合成 118 2直線のなす角〉 直線y=mx+n とx軸の正の部分とのなす角を0とするとm=tan0 2直線とx軸の正の部分とのなす角がα, B(a <B)であるとき, 2直線のなす鋭角は β-α または π(β-α) 4 (1) 直線y=1/3xとx軸の正の部分とのなす角を α とすると 直線y=-2x+10 とx軸の正の部分とのなす角を1とすると tan β1=-2 よって tan a₁ = π tana₁>1 &ŋ 7 <œ₁ <7, tanß₁ < −1 kV <B₁<= π 4 であるから 4 3 1+tan²0= ゆえに 0=Bi-α1 tan0=tan (Bi-α1) tan B₁-tana₁ 1 + tan βitan α 4 -2-1/31 1+(-2)/35 4 =2 であるから cos²0 1 sin²0=1 --/=// 5 5 00より,sino≧0であるから cos²0= sin0= 2 √5 = 72√/15 ←参考 2直線は垂直でない から tan0=|tan(α-β) -(-2) 3 1+4·(-2) 3 10 5 3 3 としても求められる。 =2 11

ここの後半部、α-βを一般角で表したときに、 2nπ-lα-βlとなるのがわかりません。 よろしくお願いします。

・① 一方,0≦a≦πのとき, OP と OQ のなす角はα-β であり, OP= 1,|0Q| = 1 であるから OP.OQ=|OP||OQ|cos(α-B) cos(a - B) ① ② より = の形で表され - (2) cos(α-β)= cosacosβ+ sin a sin β... ③ なお,α, βが一般角であるとき, OP と OQのなす角は 2nπ-la-β ( nを整数として) cOS (2n²-la-β1)=cosla-Bl=cos(α-β) となる。 よって, ③ は α, β が一般角のときにも成り立つ。 P. -1 YA SMO -T PMM

解答の部分の四角く囲ったところなんですけど、 x→∞ x→0、x→-∞ x→0からx＝aで最小値、x＝bで最大値を取るっていうのはこのようなグラフが想像されるからってことでしょうか？

S 基本例題182 最大値・最小値から関数の係数決定 ( 2 ) . a,bは定数で, a>0とする。 関数f(x)= であるとき, a,bの値を求めよ。 解答 a> 0 であるから, 定義域は実数全体。 f'(x)=x2+α-(x-b) ・2x (x²+a)² 1/13. [弘前大] 指針 増減表を作って, 最大値と最小値を求めたいところであるが,f'(x)=0となるxの値が減 雑なため、 極値の計算が大変。 複雑な計算はなるべく後で に従って,f'(x)=0の解をα,Bとし そこで, 2次方程式の解と係数の関係を利用して, a+β, aβの形で極値を計算する。 では, p.306 の例題 180 同様, 端の値として x±∞のときの極限を調べ、極値と比較 また、関数f(x) の定義域は実数全体であるから, 増減表から最大値・最小値を求めるとき x2-2bx-a (x²+a)² x2-2bx-a=0 x-b x2+a X→∞ ゆえに, f(x)はx=αで最小値f(a), 練習 23 182 増減表は右のようになり limf(x)=0, lim f(x)=0 X-8 条件から したがって 2α-2b=-α²-a, ② により, a b を消去すると 2a-(α+B)=-x²+αβ, 整理すると 2+(1-β)α-β=0, よって (a-B)(a+1)=0, αキβであるから ゆえに、②から すなわち x=βで最大値f (B) をとる。 a-b f(a)=²+a f(B)= 2' 関数f(x)= の最大値が f'(x)=0 とすると ① の判別式をDとすると D=(−b)²-1•(-a)=b²+a a>0であるから b²+a>0 ゆえに D>0 よって,方程式 ① は異なる2つの実数解α, B (a <B) をもち, 解と係数の関係から α+β=26, aβ=-a α=-1, β=3 2=26, -3=-a a=3, b=1 B-6_1 B2+a 6 6β-66=β2+α 最小値が 6β-3(a+β)=β2-aß B2-(3+α)β+3α=0 (B-a) (B-3)=0 (-)- 基本180181 u'v-uv 02 XC B f'(x) 0 + 20 f(x) 極小極大 (a>0) について,次のものを求めよ。 C 基本 αを正 (*) 解と係数の関係 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの 解を α β とすると a+b=-2,a3=12 AB= ABC 指針▷ I ∠AB x+a x² +1 (1) f'(x)=0 となるxの値 (2) (1)で求めたxの値を α, β(a <B) とするとき, β1の大小関係 (3) 0≦x≦1におけるf(x) の最大値が1であるとき α の値 [大阪電通大) 08 dS d6 0 < 0- S

ベクトルがよく分かりません 何故座標を設定するのか分かりません ベクトルで問題のように単位ベクトルを設定して解く方法はよく使いますか？ またどういう問題に使うか教えて欲しいです

384 €¾ DMCAMPSNIORE 右の図の直方体で, OA=d, OB=1,OC=c, OP=1 と する. と a, , このなす角をα1, B1, 71 とするとき, cos2d1 +cos2β1+cos2y1=1 であることを証明せよ. 考え方 解答 座標を導入して, 内積を用いて表す. 右の図のように, Oを原点とする直交座標を設定する. x,y,z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ ex=(1, 0, 0), ez=(0, 1,0), es= 0, 0, 1) とし, p= (x,y,z) とおく と, p•ei=x=1・|p|cos α1 p•ez=y=1·|p|cos B1 pes=z=1・|p|cos Y1 …… ③ ZA ANT +cos2(90°-β2)+cos2(90°y) A =sin?az+sin'β2+sin'yz ①' +②2+③^ より, x2+y2+z=1D2(cos2an+cos2 B1+cos2y1) (084- ここで,|pP=x2+y2+22≠0 より, cos2a+cos2 B1+cos²yｭ=1 IC r1 072 P 注〉 例題 384 にあるとx軸,y軸、z軸のなす角 α1, B1, Y1 に対して, COS α1, COS P', COSY1 をの方向余弦という. 例題384 だけでは何の意味があるかわかりにくいが, cos'a+cos2 B1+cos' r1 = 1 から次のこともわかる. (ア) OP と 平面 OBC, 平面 OCA, 平面 OAB のなす角をそ れぞれ az, B2, Y2 とする. との関係は下の図のよ うになるから, X₁+X2=90° 同様にして, α+αz=90°, B1+B2=90° したがって, cos'a+cos2 B1+cos2Y1 =cos2(90°-α2) =(1-cosaż)+(1-cos'β2)+(1-cos'yz)=1 UAO A IB C C ni 0 B1 x A 内積を用いる. 0 a ri ・B /α l' は l を平面αに正 y 射影した直線で,この ときのが直線と平 面αのなす角である。 :平面αの 法線ベクトル 50 よって, cos'az+cos2β2+cos'y2=2 (イ) OP のかわりに平面ABCの法線ベクトルについて考える。 平面ABCと平面 OBC,平面 OCA,平面OAB のなす角をそれぞれ Q's, B3, Y3 とする。 右の図より, Y = Y3 同様にして, α =α3, B1=B3 よって, cos'as+cos2β3+cos2y3 平面ABCの 法線ベクトル 平面ABC 73 平面OAB =cos'a'+cos2B1+cos2y1=1/①( また, OBC, AOCA, △OAB はそれぞれ △ABCの yz 平面, 2x 平面, xy平面への正射影より、 △OBC=△ABCcos α3, OCA=△ABC cos β3, △OAB=△ABC cos Y3 よって, ① を用いると, (△OBC)2 + (△OCA)^+(△OAB)²=(△ABC)2 (四平方の定理) が導ける。

なぜ3個になるのか解説お願いします🙇‍♀️

〔2〕αを負の定数とするとき, 不等式 x2 (2a+1)x+2(2a-1) < 0 ...... ① を満たす整数xの個数について考えよう。 a<0であるから, 2次不等式 ① の解は オ ただし,α = カ で表せる。 a<0のとき, ① を満たす整数xは少なくとも それがちょうど ク ケ ただし, A= であることがわかる。 ただし, オ キ と ケ のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。 オ ⑩a <x<B の解答群 , カ キ の解答群 ⑩2 ① -2 ②2a+1 ケ ⑩A<a <B の解答群 1個あり, |個となるような定数αのとりうる値の範囲は サ B= ① A≦a <B の解答群 0-3 ① 2 ② 1 B = キ a≤x≤B ② x <a, B <x 3 x≤ a, p≤r サ サ 3 -2a+1 (3) 1 ク については,次の各解 4 (4) ② A <a≦B 4 2a-1 5-20-1 ③ A≦a≦B 1/1/000 50 3 (数学Ⅰ・数学A 第1問は5ページに続く。

(3)において④よりなぜ、(1)には無かった0以上という条件が加わるのでしょうか、教えてください🙏

198 2点で交わるときの値の範囲を求めよ で求めたくとき、その交点を分の中点の座 いてませ。 it 軌跡(8) 分の中 (3) 中点 ① x-y+24=0.②について を求めよ。 が異なる点で交わる Comous DD>0 に考えると･･ 2次方程式(中)から2点の標を実際に求めて考える。 求めるものい 2次方程式(*)の2解.8とする BERBORK D>0 より do 1/③であるから (2) αが(1)で求めた範囲を動くと 円 ①と直線②の2交点の 標はxの2次方程式 ③ の 2つの実数解である。 これらをα, βとすると解と 係数の関係より ⇒中店の 《Action 分の中点の軌跡は, 解と係数の関係を利用せよ ITE) (1) ①②よりを消去して整理すると (1 + a²)x²+4a³x+4a²-1=0 Q.② は異なる2点で変わるから, ③ の判別式をDと するとD =(2a)²-(1 + a²) (4a²-1) = -3a²+1 -3a²+1>0 3 <a< (X,Y)- 計算が雑 √3 -1 34 (2 @ 2-10 β1 x 40² a+B=-1 + a² よって①と直線②の2交点の中点の座標を(X,Y) とすると 4① の中心と②日 距離をd円 ① るが、 で交点の座標を考える ら③を考える。 Play Back 8 参照 3 <0 +√3)(²-3)< (a+ より +73 に注意する。 a<+- | 2次方程式 x²+bx+c=0の2つ の解をa, βとすると a+B=-- aß としないよう C a (X1) ② X-Ya-015 したがって ゆえに、 求める3点の中のは (1+³)x=-2 (X+2)²--x X-2 とすると、左辺) 6, 2 となり不 よって、 X-2 であるから ⑥両辺を2乗すると を代入すると y = ²X +2 Y₁X _X+2(x+29 X²+2X+Y-B y=-X(X+2) より よって (X+12+Y2=1 ... ここで、⑤より X-21 ④ より 1/3であるから - 1<x50-sitect in ⑧ ⑨ より 求める中点の 軌跡は -x+2) => 1 円 (x+1)+y^2=1の <xs0 の部分 Point 弦 (線分) の中点の軌跡を求める手順 ① 2つのグラフの式を連立して、 2次方程式をつくる。 ② 共有点のx座標α B① の方程式の解 I 中点をとる 中点のy座標を X で表す。 X, Y以外の文字を消去 ④α, B が異なる2つの実数解であることから, Xの変域を求める。 解と係数の関係の利用 1114 xy平面上に, 円 C: (x-1)^2+(y+2) = 25 および直線l:y= り、 異なる2点で交わっている。 (1) の値の範囲を求めよ。 (2) C がしから切り取る弦ABの中点Mの座標をんで表せ。 (3) kの値が変化するとき, Mの軌跡を求めよ。

(3)において④よりなぜ、(1)には無かった0以上という条件が加わるのでしょうか、教えてください🙏

198 2点で交わるときの値の範囲を求めよ で求めたくとき、その交点を分の中点の座 いてませ。 it 軌跡(8) 分の中 (3) 中点 ① x-y+24=0.②について を求めよ。 が異なる点で交わる Comous DD>0 に考えると･･ 2次方程式(中)から2点の標を実際に求めて考える。 求めるものい 2次方程式(*)の2解.8とする BERBORK D>0 より do 1/③であるから (2) αが(1)で求めた範囲を動くと 円 ①と直線②の2交点の 標はxの2次方程式 ③ の 2つの実数解である。 これらをα, βとすると解と 係数の関係より ⇒中店の 《Action 分の中点の軌跡は, 解と係数の関係を利用せよ ITE) (1) ①②よりを消去して整理すると (1 + a²)x²+4a³x+4a²-1=0 Q.② は異なる2点で変わるから, ③ の判別式をDと するとD =(2a)²-(1 + a²) (4a²-1) = -3a²+1 -3a²+1>0 3 <a< (X,Y)- 計算が雑 √3 -1 34 (2 @ 2-10 β1 x 40² a+B=-1 + a² よって①と直線②の2交点の中点の座標を(X,Y) とすると 4① の中心と②日 距離をd円 ① るが、 で交点の座標を考える ら③を考える。 Play Back 8 参照 3 <0 +√3)(²-3)< (a+ より +73 に注意する。 a<+- | 2次方程式 x²+bx+c=0の2つ の解をa, βとすると a+B=-- aß としないよう C a (X1) ② X-Ya-015 したがって ゆえに、 求める3点の中のは (1+³)x=-2 (X+2)²--x X-2 とすると、左辺) 6, 2 となり不 よって、 X-2 であるから ⑥両辺を2乗すると を代入すると y = ²X +2 Y₁X _X+2(x+29 X²+2X+Y-B y=-X(X+2) より よって (X+12+Y2=1 ... ここで、⑤より X-21 ④ より 1/3であるから - 1<x50-sitect in ⑧ ⑨ より 求める中点の 軌跡は -x+2) => 1 円 (x+1)+y^2=1の <xs0 の部分 Point 弦 (線分) の中点の軌跡を求める手順 ① 2つのグラフの式を連立して、 2次方程式をつくる。 ② 共有点のx座標α B① の方程式の解 I 中点をとる 中点のy座標を X で表す。 X, Y以外の文字を消去 ④α, B が異なる2つの実数解であることから, Xの変域を求める。 解と係数の関係の利用 1114 xy平面上に, 円 C: (x-1)^2+(y+2) = 25 および直線l:y= り、 異なる2点で交わっている。 (1) の値の範囲を求めよ。 (2) C がしから切り取る弦ABの中点Mの座標をんで表せ。 (3) kの値が変化するとき, Mの軌跡を求めよ。

(3)において④よりなぜ、(1)には無かった0以上という条件が加わるのでしょうか、教えてください🙏

198 2点で交わるときの値の範囲を求めよ で求めたくとき、その交点を分の中点の座 いてませ。 it 軌跡(8) 分の中 (3) 中点 ① x-y+24=0.②について を求めよ。 が異なる点で交わる Comous DD>0 に考えると･･ 2次方程式(中)から2点の標を実際に求めて考える。 求めるものい 2次方程式(*)の2解.8とする BERBORK D>0 より do 1/③であるから (2) αが(1)で求めた範囲を動くと 円 ①と直線②の2交点の 標はxの2次方程式 ③ の 2つの実数解である。 これらをα, βとすると解と 係数の関係より ⇒中店の 《Action 分の中点の軌跡は, 解と係数の関係を利用せよ ITE) (1) ①②よりを消去して整理すると (1 + a²)x²+4a³x+4a²-1=0 Q.② は異なる2点で変わるから, ③ の判別式をDと するとD =(2a)²-(1 + a²) (4a²-1) = -3a²+1 -3a²+1>0 3 <a< (X,Y)- 計算が雑 √3 -1 34 (2 @ 2-10 β1 x 40² a+B=-1 + a² よって①と直線②の2交点の中点の座標を(X,Y) とすると 4① の中心と②日 距離をd円 ① るが、 で交点の座標を考える ら③を考える。 Play Back 8 参照 3 <0 +√3)(²-3)< (a+ より +73 に注意する。 a<+- | 2次方程式 x²+bx+c=0の2つ の解をa, βとすると a+B=-- aß としないよう C a (X1) ② X-Ya-015 したがって ゆえに、 求める3点の中のは (1+³)x=-2 (X+2)²--x X-2 とすると、左辺) 6, 2 となり不 よって、 X-2 であるから ⑥両辺を2乗すると を代入すると y = ²X +2 Y₁X _X+2(x+29 X²+2X+Y-B y=-X(X+2) より よって (X+12+Y2=1 ... ここで、⑤より X-21 ④ より 1/3であるから - 1<x50-sitect in ⑧ ⑨ より 求める中点の 軌跡は -x+2) => 1 円 (x+1)+y^2=1の <xs0 の部分 Point 弦 (線分) の中点の軌跡を求める手順 ① 2つのグラフの式を連立して、 2次方程式をつくる。 ② 共有点のx座標α B① の方程式の解 I 中点をとる 中点のy座標を X で表す。 X, Y以外の文字を消去 ④α, B が異なる2つの実数解であることから, Xの変域を求める。 解と係数の関係の利用 1114 xy平面上に, 円 C: (x-1)^2+(y+2) = 25 および直線l:y= り、 異なる2点で交わっている。 (1) の値の範囲を求めよ。 (2) C がしから切り取る弦ABの中点Mの座標をんで表せ。 (3) kの値が変化するとき, Mの軌跡を求めよ。

19の⑵が分かりません。⑵を教えていただけたら、⑷は自分でできると思うので、教えてください。

19. 2 2 T α= COS- 10 T + isin β=cos- 10 17 -π+isin のとき, 次の式の値を求めよ。 17 (1) 1+α+α2+ +α19 α. α?.…………a19 (3) 1+β+β2+ +β16 (4) β. B2 β16 .… .. β16