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とな
辺を引
りを
解決
数)
有点
式
(2)
で
2.
曲線の交点を通る曲線の方程式(1)
一般に、次のことが成り立つ [曲線/(x, y)()については、166の解説も参照」。
異なる曲線/(x,y)=0g(x,y)=0がいくつかの交点をもつとき
方程式kf(x,y)+g(x,y)=0 (kは定数) ・・・・・・ (A)は,それらの交
すべてを通る曲線を表す [ただし、曲線(x,y)=0を除く]。
例題 106 (2) で方程式 k+g=0 を利用する理由
169
(1)で2円の共有点の座標が求められたので, か.150 例題 94 のように、円の方程式の
一般形x+y+lx+my+n=0に通る3点 (1,2), (-2,-1), (1,0)の座標を代入
は計算が面倒になることもある。
後はんの1次方程式を解けばよいから,計算も簡単に進められて都合がよい。
足 1.ここで, 上の (*) が成り立つ理由について考えてみよう。
2曲線はともに点Aを通るから,f(xi, yi)=0,g(x,y)=0が
2曲線がn個の交点A(x, y) (i= 1, 2,......, n) をもつとする。
ともに成り立つ。よって, kの値に関係なく,
kf(Xi, Vi)+g(x,y)=0が成り立つ。
すなわち、Aの表す曲線は点A(i=1, 2,......, n) を通る。
しかし、曲線f (x, y) =0上で交点以外の点をP(s, t) とすると,
f(x, y) は
f(x, y) に x=x
y=ys を代入したと
きの値。
f(s,t)=0かつg(s,t) ≠0 であるから, kf(s,t)+g(s,t) =0を満たすんは存在しない。
すなわち, 方程式 Aが曲線f (x, y) =0を表すことはない。
補足2. 方程式kf+g=0 を利用する際は、次のことも意識するようにしておきたい
2曲線f (x,y)=0,g(x, y) = 0 が共有点をもつかどうか。
2曲線の方程式のうち,形の簡単な方を f(x, y) = 0 とする。
座標を代入した後の計算をらくにするための工夫。
前提条件を忘れずに
ここで2曲線f(x,y)=0,g(x,y)=0が, [1] ともに直線 [2] ともに円
の場合を考えると,それぞれ次のようになる。
[1] 交わる2直線αx+by+c=0,ax+by+c2=0 に対し, 方程式
kax+by+c+ax+by+c2=0
は、2直線の交点を通る直線を表す(直線ax+by+c=0を除く)。
[2] 異なる2点で交わる2円 x 2 +y+hx+miy+m=0,
x2+y2+bx+mzy+n2=0に対し, 方程式
kx+y+hx+my++x+y+lx+my+n=0
Bは、
k=1のとき2つの交点を通る直線 (2円の共通弦を含む直線)
kキー1のとき2つの交点を通る円(円x2+y'+hx+miy+m=0を除
を表す。
