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名を書い
るか。
基本6
4, 5;
5)
求めれば
る際は、
5
-3
-4
内の数字
並べない
という。
1③の
E
き換え
重要 例題16 塗り分けの問題 (1) ... 積の法則
ある領域が,右の図のように6つの区画に分けられている。 境界
を接している区画は異なる色で塗ることにして, 赤・青・黄・白の
4色以内で領域を塗り分ける方法は何通りあるか。
解答
IC→A→B→D→E→F
の順に塗る。
C→A→Bの塗り方は八
P3=24(通り) (
この塗り方に対し, D, E, F の
塗り方は2通りずつある。
よって, 塗り分ける方法は全部
で 24×2×2×2=192 (通り)
C→A→B→D→E→F
指針 塗り分けの問題では,まず 特別な領域 (多くの領域と隣り合う 同色が可能)
に着目するとよい。この問題では,最も多くの領域と隣り合うCDでもよい) に着目し
C→A→B→D→E→F
の順に塗っていくことを考える。
3.Cの色を除く
2.CとAの色を除く
2. CとBの色を除く
の
CとDの色を除く
色を除く
4 × 3 × 2 ×2×2×2
:
2…DとE
それぞれ何通りか。
基本7
6×4=24 (通り)
よって、4色すべてを用いる塗り分け方は
{1}{1}{3}
で塗り分ける。
B
D
青く
DE
青
注意 上の解答では,積の法則を使って解いたが,右のように樹形図 白く
を利用してもよい。 なお, 右の樹形図は, Cが赤, A 青, B
が黄で塗られているときのものである。
練習
右の図の A, B, C, D, E 各領域を色分けしたい。 隣り合っ
(3)
16 た領域には異なる色を用いて塗り分けるとき, 塗り分け方は
(2) 3色で塗り分ける。
A 3
A, B, D E の4つの領域
と隣り合うCから塗り始
める｡
F
白く
E
検討 4色すべてを用いる場合の塗り分け方
上の例題では, 「4色以内」 で領域を塗り分ける方法を考えたが,「4色すべてを用いて」 塗り分け
る方法を考えてみよう。 この領域を塗り分けるには、最低でも3色が必要であるから
(4色すべてを用いる塗り分け方) = (4色以内の塗り分け方) - (3色を用いる塗り分け方 )
により求められる。ここで, 3色で塗り分ける方法の数を調べると
F
赤
・白
赤
黄
RAJ
[C, F] → [A, D]→[B, E] ([ ] は同じ色で塗る領域) の順に塗る方法は 3P3=6(通り)
4色から3色を選ぶ(=使わない1色を選ぶ) 方法は4通り
ゆえに
192-24=168 (通り)
赤
黄
赤
A
(2
青
C
319
D
B
4
E
000 11
1章
3
順
列
