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ループ式ジェット
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例 33 鉛直面内での円運動
右図のような, 半径r[m]のなめらかな円筒面に向
けて、質量m[kg]の小物体を大きさv[m/s] の初速
度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の
大きさを g〔m/s^〕 とする。
鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると
きの小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き
さを求めよ。
(2) 小物体が点Bを通過するためのv の条件を求めよ。
小物体
慣性力の
方向
coso
g
センサー 39
円運動では、地上から見て
解くか、物体から見て解く
かを決める。
① 地上から見る場合
遠心力は考えず、 力を円の
半径方向と接線方向に分解
し、円運動の半径方向の運
動方程式を立てる。
m=F
または m'=F
②物体から見る場合
遠心力を考え、力を円の半
径方向と接線方向に分解し,
半径方向のつり合いの式を
立てる。
ma
どちらでも解ける。
センサー 40
物体が面に接しているとき、
垂直抗力 20
(1) 水平面を重力による位置エ
ネルギーの基準面とする。
解答 (1) 点Cでの小物体の速さを
v[m/s] とすると, 力学的エネルギー
保存の法則より
1
mvo = =-1/1/1₁ mv²2+mg (r+rcos)
ゆえに,
v=√√v-2gr (1+cos0) [m/s]
③①を比較すると、
N≧0(面から離れない条件)が
の条件を決めることになる。
m vo
垂直抗力の大きさを N〔N〕 とすると,
地上から見た円運動の運動方程式は,
Vº
m -= N + mg cos
Y
これに”を代入し, 整理すると,
v=√v²-4gr
よって,
>>122 127 131
gr> 0
ゆえに, vo>2√gr
また. ② より = 0 を N に代入して,N=
B
rcos e
N = mv02
--mg (2+3 cos0) [N]
......②
T
別解 小物体から見ると, 円の半径方向にはたらく力は,実際
にはたらく力のほかに, 円の中心から遠ざかる向き
よって.
mv²
r
-5mg 20
2K, voz√5gr
③,④がともに成り立つためには、vogr
A
･③
mv02
r
B
v²
がはたらいている。 半径方向の力のつり
r
合いより,
v²
N + mg coso-m
-=0 (量的関係は上と同じ)
補 非等速円運動では,円の接線方向にも加速度があり、物
体から見た場合,接線方向での力のつり合いを考えるため
には,接線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。
(2)(1)より、0 〔rad] では, 0 が小さくなるにつれて, v,
≦™
Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B
でかつ≧0であればよい。 ①より, 8=0を
代入
して、
mgcoso
N
-5mg
mg
④4④
C
Ch
