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重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)f(x)=2x を満たし, f(0)=1
[一橋大]
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
指針 例えば、f(x) が2次式とわかっていれば, f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
→f(x) は n次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+...... (a=0, n ≧1) とおいて
進める。 f(x+1)f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺2x と比較するこ
とで次数 n と係数 αを求める。
なお, f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
f(x)=1
f(x)=c (cは定数) とすると, f(0) =1から
解答 これはf(x+1)f(x)=2x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bx-1+..... (α= 0, n ≧1)(*) とす
ると
f(x+1)f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"'+......-(ax+bx-1+......)
=anx-1+g(x)
ただし,g(x) は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最
高次の項を比較して
・①,
n-1=1 ......
(
an=2......
②②
よって
2x+6+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから b+1=0
すなわち
b=-1
したがって f(x)=x-x+1
基本15
この場合は, (*) に含ま
れないため, 別に考えて
いる。
◄(x+1)"
練習 f(x) は最高次の係数が1である多項式であり 定
④ 21 f(x2)={f(x)-ax-b}(x²-x+2) が成り立
びα bの値を求めよ。
①から
n=2
ゆえに、②から
a=1
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
c=1
またf(x+1)f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが,
=2x+6+1
結果は同じ。
=x"+nC1x"-1+nC2.xn-2+...
のうち、
n+1/
a(x+1)" -αx" の最高
次の項は anx-1 で, 残
りの項はn-2次以下と
なる。
anxn-1と2x の次数と
係数を比較。
POINT 次数が不明の多項式は, 次と仮定して進め
係数比較法。
有効
し、常
5
基本事
12
3
2
