物理の計算です。 これってどうやったら2行目から3行目になるんですか? どなたか教えてください。

Mc Me T₁=m₁ (J-α²) mell Tatu, two. mi (MT2 m₂) Mt mit m₂ the → g 9 [N]

名問の森の質問です！ ？のところのV1とV2の向きがなぜそうなるか分からないので教えて下さい！

122 電磁気 38 電磁誘導 十分に長い直線導線Lがy軸上 にあり, 1辺の長さ2aの正方形コ イル ABCD が 辺ABをx軸上に, 辺BC を軸に平行にして置かれて いる。 コイルの電気抵抗は R で, コ イルの位置は辺ABの中点Mの座 標xで表す。 装置は真空中に置かれ, 真空の透磁率 μlo とする。 コイルの 自己誘導は無視する。 Foll 導線L に+yの向きに一定電流Iを流し,コイルを一定の速さ で,xy平面上,x軸に沿って導線から遠ざける。コイルがx(a)の 位置を通過するときについて, (1) L による,点A,B での磁場の強さ H1, H2 をそれぞれ求めよ。 (2) コイル全体での誘導起電力の向き (時計回りか反時計回りか)と大 きさVを次の2つの方法で求めよ。 Level (1)★★ (2) (a)★ (b)★ (3)★ Point & Hint 電磁誘導は一般にはファラデーの電磁誘導 の法則に従っている 0 (2) (b) 微小時間⊿tの間の磁束の変化⊿のを調 べる。 といっても, コイルを貫く磁束のはコイ ル内の磁場が一様ではないので(積分しない限 り) 計算できない。 そこで, 変化した部分だけ に目を向ける。 近似の見方も必要。 L D A -2a- M C B (a) 1つ1つの辺に生じる誘導起電力を調べる。 (b) コイルを貫く磁束の変化を調べる。 (3) x=2aのとき, コイルに加えている外力の向きと大きさを求め よ。 (九州大+お茶の水女子大) -V Base 電磁誘導の法則 磁束① = BS V=-N40 4t 一面積S N巻きコイル ※マイナスは磁束の変化を 妨げる向きに誘導起電力 が生じることを表す。 LECTURE (1) A,Bでの磁場は ? I H₁ = 2π (x− a) 2π (x+a) (2a) 直線電流Ⅰのつくる磁場は紙面の裏へ の向きとなり、磁力線を切って進む AD と BCで誘導起電力 V1, V2が図の向きに発生 している。公式V=vBlより V₁ = vμoH₁.2a V2= vμoH22a 2つの起電力が逆向きとなっていることと, H>Hより全体の起電 力は時計回りで (b)微小時間tの間にコイルはx=v4t だ け動き,右の赤色部分で磁束を402 増やし、 灰色部分で4の減らす。 そこで,磁束の変化 40は H2= 40= 40₂ 40₁ =μoH22a4xμoHi・2a4x 2μo lav π (x²-a²) At 符号マイナスは磁束の減少を表している (H) > H2 より定性的にも明らか)。 よっ て, 誘導起電力の向きは、父の向きの磁場 を生じるようにコイルに電流を流す向きで あり、時計回りと決まる。 40=2μoIav V = π (x² - a²) 4t V=V1-V2=2μova (H1-H2)= 2μo Iav π (x²-a²) (3) x=2a より V= 2μo Iv であり、誘導電流 3π えは時計回りに流れ, オームの法則より i = R 38 電磁誘導 2μo Iv 3πR V₁ H₁ v A -x+a H₁ 4x F D 123 H 2 V i V2 A ⊿xは微小なので ③ 磁場はHやHで 一定としてよい。 B H2 4x C i F2 B Iとの向きから, ③ F は引力, F2は反 発力と決めてもよい。

物理の質問です。 (1)です。 Tを分解するかmgを分解するかで答えが変わります。 今回はmgを分解していますが、どうやったら見分けがつきますか？ 問題文から判断するのでしょうか？ 教えてくださいよろしくお願いします。

がある値vをこえると,小球が面からはなれる。 vを1,0,g を用いて表せ。 (40(4) gを用いて表せ。 ヒント (1)(2) 小球は,重力、張力、垂直抗力を受け、それらの鉛直成分はつりあってい る。また、円の中心方向の成分を向心力として,等速円運動をしている。 例題28 206. 鉛直面内の円運動 長さlの糸の一端に質量mのおも りをつけ,他端を点0に固定して, 振り子とする。 糸が鉛直 方向と角をなすように, おもりを点Aまでもち上げ, 静か にはなした。 おもりの最下点をB, 重力加速度の大きさをg として,次の各問に答えよ。 XO (1) おもりをはなした直後の糸の張力の大きさはいくらか。 Q② 最下点Bにおけるおもりの速さはいくらか。 (3) 最下点Bにおける糸の張力の大きさはいくらか。 ヒント (1) このとき, おもりの速さは0なので, 向心力は0 となる。 (3) おもりは,重力と糸の張力の合力を向心力として円運動をする。 0 0 B A m 例題29

(2)番についてです 自分は位置エネルギーと大気圧への仕事も考えてW=pΔv+MgL/2+p0ls/2 と考えたのですが、解答では位置エネルギーとか考慮していません。なぜですか？

142 熱 49 熱力学 断熱材で作られた円筒形の容器に〔mol]の 単原子分子の理想気体が入っていて、圧力と温 TOK] は大気のそれと等しい。 ピストンMの 質量は 〔kg] で滑らかに動く。はじめMはス トッパーAで止まっており、容器の底からの高 さはLQm] である。 気体定数をR [J/mol・K], 重力加速度(m/s²] とする。 (1) ヒーターのスイッチを入れて気体を加熱し たところ, 温度が T1 [K] になったときM が上に動き始めた。温度 T と気体に加えた熱量 Q1 〔J〕 を求めよ。 (2) Mはゆっくり上昇を続け高さが2.2L[m]となった。このとき の温度 T [K] を求めよ。 また,Mが動き始めてからこのときまで に気体がした仕事 W 〔J〕 と気体に加えた熱量 Q2 〔J〕 を求めよ。 ここでヒーターのスイッチを切った。 そして,外力を加えてMを ゆっくりと押し込み、元の高さL 〔m〕まで戻した。 このときの気体 の温度 T3 〔K〕 を求めよ。 また, このとき気体がされた仕事 W 〔J〕 を求めよ。 ただし、この断熱変化の過程では圧力と体積Vの間に (京都工繊大) はPV =一定の関係がある。 Base M ヒーター 10000 Cv= Level (1), (2)★ (3)★ Point & Hint (1) 前後の状態方程式と、ピストンが 動き始めるときの力のつり合いを押さ える｡ 大気圧をPo, ピストンの面積をS とでもおくとよいが,これらの文字は 答えには用いられない。 (2) なめらかに動くピストンが自由になっていると 定圧変化が起こる。 定圧変化では, 気体がする仕事 = PAVとなる。 (3) 断 熱変化では,PV=一定が成り立つ。 γは比熱比とよばれ, y=Cp/Cv ここで は単原子なので,y= =1/12/2/12/2R=7/3/3 となっている。あとは第1法則の問題。 5 h= 単原子分子気体 nRT U= 3 5 = 2R CP=R 2 ※ この3式は「単原子｣のとき LECTURE 初めの気体の状態方程式は ピストンが動き始めるときの圧力をPとすると PSL = nRT …..……② (1) そして,このときのピストンのつり合いより PS = Pos+Mg...... ③ T₁=To+ _MgL nR4 ①〜③ より 定積変化だから より (2 そして (2) Pi での定圧変化が起こる。 状態方程式より P₁S³/L=nRT₂ また, Q=nCvAT= PSL = nRTo ...... ① T₂ = ³2 T₁ = 3 (To+ MgL nR W2 = Pi4V = Pi P.(S. 3/L-SL) Q2=nCpAT = n 状態方程式より 5 2 第1法則より より 49 熱力学 nR(T₁-To) = MgL 2 2 T3= ③ -T₁ (3) 高さまで押し込んだときの圧力をP3とすると P.(S-L)* = P.(SL) P3= 3 PS を用いて. Ws = Mg AU』を調べ ( 4U2=2R(T-T)) 第1法則 4U2 = Q2+(-Wa) を用いて Qを求めることもできるが、まわりくどい｡ =1/12P.SL=1/12nRT=1/12(nRT,+MgL) ②を用いた .. T = n. 52 R (T₂ - T₁) = (nRT. + MgL) 143 ピストンが動いて も上図の状況は変 P.S わらない。 つまり, 圧力 P1 は一定 'P・SL = nRT3 ...... ⑤ - (3) ³T = (3) (T. + MgL) 'T nR 2nR (T₁-T₂) = 0 + W₁ P1 = (2)(2)-1) (nRT. + MgL)

(2)番についてです 自分は位置エネルギーと大気圧への仕事も考えてW=pΔv+MgL/2+p0ls/2 と考えたのですが、解答では位置エネルギーとか考慮していません。なぜですか？

49 熱力学 断熱材で作られた円筒形の容器に〔[〔mol] の 単原子分子の理想気体が入っていて, 圧力と温 度TOK]は大気のそれと等しい。 ピストンMの 質量は Mi [kg] で滑らかに動く。はじめMはス トッパーAで止まっており, 容器の底からの高 さはL][m]である。気体定数をRJ/mol・K], 重力加速度を[m/s2] とする。 (1) ヒーターのスイッチを入れて気体を加熱し たところ、温度が T1 〔K〕 になったときM が上に動き始めた。 温度 T1 と気体に加えた熱量 Q1 〔J〕 を求めよ。 (2) Mはゆっくり上昇を続け、高さが12/23L 〔m] となった。このとき の温度T2 〔K〕を求めよ。 また,Mが動き始めてからこのときまで に気体がした仕事 W2 〔J〕 と気体に加えた熱量Q2 〔J〕 を求めよ。 ここでヒーターのスイッチを切った。 そして, 外力を加えてMを ゆっくりと押し込み, 元の高さL 〔m〕まで戻した。 このときの気体 の温度 T 〔K〕を求めよ。 また,このとき気体がされた仕事 W [J] を求めよ。 ただし, この断熱変化の過程では圧力Pと体積Vの間に は PV 3 =一定の関係がある。 (京都工繊大) Base 771 3 Level (1),(2)★ (3)★ Point & Hint Cv= Cp= ※ この3式は「単原子｣のとき (1) 前後の状態方程式と, ピストンが 動き始めるときの力のつり合いを押さ える｡ 大気圧をPo, ピストンの面積をS とでもおくとよいが,これらの文字は 答えには用いられない。 (2) なめらかに動くピストンが自由になっていると 定圧変化が起こる。 定圧変化では,気体がする仕事=P⊿Vとなる。 (3) 断 熱変化では,PV=一定が成り立つ。 ♪は比熱比とよばれ, y=Cp/Cv ここで は単原子なので, y = = 12/12/12/2=121238 となっている。あとは第1法則の問題。 M -R ヒーター 10000 単原子分子気体 3 U= -nRT 2 5 R LECTURE (1) 初めの気体の状態方程式は PSL = nRTo ...... ① ピストンが動き始めるときの圧力をPとすると PSL = RT ...... ② そして、このときのピストンのつり合いより PS = PS+Mg..... ③ MgL Ti = To+ nR QinCvAT=- R(T₁-To) = 32 MgL ① ~ ③より 定積変化だから P1での定圧変化が起こる。状態方程式より PS・・ S/L=nRT2 4 (2) より そして そ T₁ = 3 T₁ = 2 (T. + Mg L nR W₁ = P₁AV = P₁ (S. 3/L-SL) より 49 熱力学 状態方程式より (3) 高さまで押し込んだときの圧力を P3 とすると B 第1法則より PS T3 = Mg また, Q2=nCAT=n212R(T2-T)=(nRT+MgL) 4U』を調べ ( 4U2=220R (T-T) 第1法則 4U2 = Q2+(-W)を用いて 4U₂ Qを求めることもできるが、まわりくどい｡ 143 P.(SL) = P.(SL) ( ∴. P3= P1 PS ピストンが動いて も上図の状況は変 わらない。 つまり, 圧力 P1 は一定 =1/23PSL=/1/2nRT=1/12(nRT+MgL) ②を用いた (2) *P₁.SL = nRT .... (3) ³T₁ = (3) ³( T. + MgL) 'T= nR 2nR(T₁-T₂) = 0+W₁ W₁ = (2) ² (2) ³-1} (nRT. + MgL)

（8）で、X4→X1の間で等速になる理由がわからないので教えてください。

13 静電気単振動 13 静電気単振動 水平右向きにx軸をとり, 原点を0 とする。 水平方向に -αx で表される 電場 (電界) をかける (x は座標で,αは 正の定数)。 そして, 水平右向きにベ ルトを一定の速さで動かす。 正電荷q を帯びた質量mの小物体Pを点0の位置でベルト上に置くと,Pは ベルトに対して滑ることなく動き始めた。 Pとベルトの間の静止摩 擦係数をμ1, 動摩擦係数をμ2 (<μ) とし, 重力加速度をgとする。 ベルトは帯電しないものとする。 電場 ベルト P Level (1),(2) (3)~(6) (7),(8) ★★ Point & Hint 力学としては, ばねに付けられた物体の動くべ 電場 Pはやがて位置 x = (1) で滑り出す。その後のPに働く合力F は,Pの位置 x を用いて, F = (2) と表せる。 Pはx=bで一瞬 で最大の速さvm=(4) 静止した後,左へ戻り, 位置 x2 = (3) となる。 x = b から x2 に至るまでの時間は = (5) である。 その 後, P は xs = (6) で再び一瞬静止し, 右へ動くが, x4= (7) でベルトに対して静止し, 再び滑り出すまでには, ベルトの速さを Vとすると, t2 = (8) の時間がかかる。 (関西大+ 大阪大) 47 ARRE

静電気・保存則の問題です。 (5)の力学的エネルギー保存則の式の右辺について、Aはx軸の-方向に動いているのに-1/2mvA^2ではなく1/2mvA^2になるのかが分かりません。 教えてください。

AB間の距離が2rm[m]のときのAの逃さ v [m/s] を求めよ。 量m(kg]の粒子Aが最初, Bから十分離れた位置にあり,x軸上正の 方向に遊度 (m/s)で動いている。 クーロン定数を:N·m'/C°)と (4) AがBに最も近づいたときの, Aの速度u [m/s]を求めよ。ま その後AとBは互いに反発し遠さかる。十分に時間がたった後 1/静電気 +QIC)を帯びた質量 AM (kg)の粒子Bが r軸 上の点Pに静止している。 また。+q[C) を番びた賞 m,q M.Q Vo 河合計 B 11 静電気保存則 43 HCHEE P 島 A5判 (1) 無限遠点での位置エネルギーは U=g×0=0 で, AB間の距離がr の とき U=qr kQ と表されるから,力学的エネルギー保存則より 5) 量4に らmu+0= 0+. kqQ 2kqQ mv? Yo Yo = (2) 前問と同様に ら +0=;mu+ kqQ 2r。 mu。 し, 重力や粒子の大きさは無視できるものとする。 Tath カ学 mu*+mu? V。 リ= V2 良間 類出 浜島 A5判 (3) 加速度が最大となるのは, 静電気力が最大になると きで、AがBに最も近づいたときだから 登信 (1) AB間の距離の最小値 o [m] を求めよ。 加速度のこと は力に聞け! mVo 9Q kqQ 『max- mr 4kqQ mamax=k mu 次に、粒子Bが×軸上を自由に動ける場合について, (4) 最接近のときの相対速度は0で, AとBの速度 は等しくなるから,運動量保存則より (止まった な、AB間の距離 [m]を求めよ。 mb = mu+ Mu m m+M 。 物体系についての力学的エネルギー保存則より . u= mv わ学 名問 浜島 A5判 (岡山大) のAの速度(m/s)を求めよ。 mu=me+ kqQ -Mu*+ Y」 Bから見れば AはUターン 0. 上で求めたuを代入して Y= 2kqQ(m+ M) mMu? Level (1)~(3) ★ (4),(5)★ kqQ はAとB全体でつくり出したもので, (1), (2)では 位置エネルギーU= Bが固定されているためAだけで使えたのである。力学でいえば, AとBがばね で結ばれているときの弾性エネルギーの扱いに似ている。 Point & Hint カ学 (1(2) 力学的エネルギー保存則を用いる。 位置エネルギーUは U=qVと (5) Bの速度をUpとすると, 運動量保存則より muo= mua+ Mus …① 力学的エネルギー保存則より kQ V= からつくり出す。 らく 物理 河合 B6 2mu =mu+Mug ……② | 運動方程式 ma = F を思い出したい。 -mv? (3)加速度といえば、 (4)物体系に働く外力がないから…。最接近のとき, Bから見てAは一瞬止まる から…。 AB間の距離については, A·B 全体について(物体系について)カ学 的エネルギー保存則を用いる。 位置エネルギーの形は前半と変わらない。 (5) 2つの保存則の連立。 Aと Bは十分離れるので位置エネルギーは0としてよ 0.2よりUを消去すると m-M m+M U= Vの正負はmとMの大小関係で決まる。 解も出るが、Aは静電気力で減速されているので不適 (初めの状態に対応)。 なお,計算からは ひ、= w という 物理 い。 別解弾性衝突とみなしてもよい。反発係数 e=D1 だから VA-Us = -1× (v0-0) ③ のと3の連立で解くと早い。 河 htt E-r kp

物理 力学です。(4)のPの運動方程式について、なぜ慣性力を考慮しなくていいのかがわからないです。

10運動方程式 水平面上に置かれた質量 Mの 箱Qの中に質量Mの小物体Pを 入れ、静止状態から箱に外力F, を水平右向きに加えて運動させ る。PとQの間の静止摩擦係数を μo)動摩擦係数をμとし、Qと水平 面の間の動摩擦係数もμとする。重力加速度をgとする。 まず,F=Foのとき,P, Qは一体となって運動した。 (1) 加速度を求めよ。 (2) PがQから受けている摩擦力カの大きさげを求めよ。 (3) P, Qが一体となって運動するためには, Foはいくら以下でなけ ればならないか。その限界値 F,を求めよ。 次に, F= F(> F)として, 静止状態から動かすと, Pは箱Qに 対して滑って動いた。 (4) Pの加速度aとQの加速度Aをそれぞれ求めよ。 (5) はじめPはQの左端から1の距離の所にあったとする。PがQの 左端に達するまでの時間tを求めよ。 最後に,外力は加えず,静止状態から箱Qだけに右向きの初速 voを P F 与える。 (6) Pが1離れた箱の左端に達するためには, voはいくら以上である (鹿児島大+名古屋市立大) べきか。 Level(1)~(4) ★ (5), (6) ★ Point-& Hint (1) P, Qを一体として扱う。 (2) Pだけの運動方程式を考える。 (3) PとQの間に滑りがないので, fは静止摩擦力である。 (4)作用·反作用の法則が大切。 (5), (6)箱Qに対するPの運動(相対運動)を考えるとよい。

（1）について、右ページの上に書いたように考えてはいけないのはなぜですか？

N- Mg A5判 滑らかな鉛直壁の前方 61の所から, 長さ 10, 質量Mの一様なはしごが壁に 立てかけてある。床とはしごの静止摩擦 係数はっであり, 重力加速度をgとす A LECURE (4 剛体のつり合い 17 (1) はしごに働く力は右のようになっている。 BC:AB= 61: 101=3:5 なので, 直角三角 形 ABC の辺の比は 3:4:5 である。Bのま わりのモーメントのつり合いより カ 垂直抗力 R A Rのうでの長さ る。 上端Aが壁から受ける抗力の大きさ と下端Bが床から受ける抗力の大きさ を求めよ。 のもし, 床とはしごの間の静止摩擦係数がある値より小さければ はしごは滑ってしまう。 その値を求めよ。 3 いま,このはしごを質量5Mの人が登り始めた。この人は下端。 からいくらの距離の所まで登れるか。 (4) この人が下端Bから 21の距離にいるとき, 上端Aと下端Bで働 く抗力の作用線の交点Pの位置を図中に示せ。 Mg×5l cos 0=R×10lsin@ 垂直抗力 *N Cos 0= 5 sin 0= R=Mg 回転軸としてBを選んだのは, 未知数の N やFに顔を出させないため(モーメントが0 重力 Mg B C 静止摩擦力F Mgのうでの長さ となっている)。 別解 Bと力の作用点との距離をうでの長さ としてもよい。ただし, 力を分解し, はしご に垂直な分力(赤矢印)を用いる。 5 (徳島大) ロ 3 Mg cos 0 ×51=R sin0×10Z こうしてRが求められる。 R Level(1) ★ (2), (3) ★ (4)★★ 剛体のつり合い 左右つり合い |上下つり合い 力のモーメントのつり合い (反時計回り=D時計回り) Base 上図で,鉛直方向の力のつり合いより <Rのうでの長さ Point & Hint (1) はしごに働く 力をきちんと図示することが何より大切。 力の図示…注目物体が受けている力を 矢印で描く。まず重力 mg を, 次に接 触による力を描く。 接触によるカとは, 糸の張力や接触面からの垂直抗カや摩擦 力などである。なお,「抗力」とは垂直抗力と摩擦力の合力を指していることに注意。 (2) 静止摩擦係数を μ 垂直抗力をNとすると, 最大摩擦力 Fmax は, Fmax3μN と なる。ただし, Fax は静止摩擦力の限界値であり, 物体がまさに滑り出そうとする ギリギリの状況でしか現れない力である。(4) Bでの抗力を計算する必要はない。 「剛体に3つの力が働き, 互いに平行でないときには, 作用線は一点で交わる」(な ぜか?)ことを応用したい。そこで重心の知識を生かす。 質量 m., m2, … N= Mg…の 力のつり合い Mgのうでの長さ 水平方向の力のつり合いより F=R……3 Mg B = M 抗力 Bでの抗力は VN+ F = 99 1+ 64 Mg N = Mg /73 8 F 別解 Aのまわりのモーメントのつり合いより の質点の N×101 cos 0 = Mg× 5l cos 0 + F×10lsin0 座標をx, X2, … とすると、重心の座槽r。け

名門の森の力学の12番の(3)なのですが、直感的にはBが単振動して振幅の2倍（2a/‪√‬3）が答えになりそうな気もするのですが、なぜ単振動になってないのでしょうか？分かりにくい質問ですみません

Bは水平線 PQ よりどれだけ下がっ P 固定された滑らかなくぎP,Qに掛けた。 PQ = 2a であり、重力加速度をgと。 (1) 3がてしている。 長さ 6aの糸のとに, 同じm のA, B, C を、 -2a 9E 12 エネルギー保存則 水平線上に V (2) Bを手でつまんで PQの中点まで持ち上げる。 仕事を求めよ。 (3) (2)の状態でBを静かに放すと,おもりは動き始める。 Bは水立な PQ より最大どれだけ下がるか。 (京都工繊大) Level (1) ★ (2),(3) ★ Point & Hint 。 一般に,物体を静かに動 (2)手のした仕事は位置エネルギーの増加をもたらす。 かすときは, 外力の仕事=位置エネルギーの変化 もちろん, この場合は物係 系で考える。 (3) 物体系に対して力学的エネルギー保存則を適用する。 HCHE P 合いから T= mg と、Bの鉛直方向のつり合