解答
106 背理法 (2)
bが有理数のとき, 次の問いに答えよ.ただし,√2が無理数である
a.
ことを用いてもよい。
(1) a+6√2=0 ならば, α = 0 かつ 6=0 であることを背理法を用い
て証明せよ.
(2)
a(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2 を満たす a b の値を求めよ.
考え方 (1) 2 が無理数であるという条件を利用できるよう, まず 6=0 と仮定する.
(2) (1) の結果を利用する.
(1) b=0と仮定する.
a+b√2=0 より
√√2
ここで,a,bは有理数より
も有理数となる
が、このことは√2が無理数であることに矛盾する.
したがって, b=0 である.
これをa+b√2=0 に代入して
よって, α, bが有理数のとき,
a
b
である.
a+b√2=0 ならば、a=0 かつb=0
(2)a(2+√2)+b(1-√2)=5+4√2
2a+√2+6-6√2-5-4√2=0
PE
a=0
(2a+b-5)+(a-b-4)√2 = 0
a b が有理数より, 2a+6-5,α-6-4 も有理数
となる.
したがって. (1) より.
よって,これを解いて
[2a+6-5=0
la-6-4=0
HEBER
a=3, b=-1
ITO
無数の
3 命題と証明 20
NO
この時点では 「b=
あることしか導/
いないので、こ
「b=0」 を用い
「α=0」 を導く
√2について
2a+b-5, c
がともに有
るる
ることを必
る。
