ここで,A, B, Cが整数のとき, AB=Cならば A, BはCの約数
/+40 が自然数となるような自然数nをすべて求めよ。
重要 例題1U7 V2次式の値が自然数となる条件
A0 が自然数となるような自然数nをすべて求めよ。
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=m(m は自然数)とおき,両辺を平方して整理すると m'-n?=40
(m+n)(m-n)=40.
Vn°+40
よって
の
- (2数の積)%3 (整数)の形。
を利用して,Oを満たす整数 m+n, m-nの組を考える。
このとき,m>0, n>0より m+n>0であるから,①が満たされるとき m-n>0
更に、m+n>m-nであることを利用して,組の絞り込みを効率化するとよい。
HART 整数の問題(積)=(整数)の形を導き出す
解答
ア+40 =m(mは自然数)とおくと
三方して n°+40=m°
, nは自然数であるから, m+n, m-nも自然数であり, 1HAHO
ロの約数である。
た,m+n>m-n21であるから,①より
m+n=40
n<m
買
An=n?</n+40 =Dm
ゆえに(m+n)(m-n)=40 … ① m'-n'=40
した
という条件の場合は、 素数pに対し
( x-1) るた
n>0 からm+n>m-n
m+n=20 m+n=10 |m+n=8
(m+n=a, m-n=b とこ
ると
m-n=1'
(m-n=2?
m-n=4
m-n=5
_a-b
n=
2
a+b
/ 13
3
ケ
m=
2
41
は順に(m, n)=(,9,(11, 9), (7, 3), (
22
2?
2
3=
の
m, nが分数の組は不適
| n=9, 3
たけ
「偶数の素数便
たがって,求めるnの値は
は
討積がある整数になる2整数の組の求め方
この解答の①のように,(積)=(整数)の形を導く ことは, 整数の問題における有効な方法
つである。(積)=(整数)の形ができれば, 指針の口を利用することで, 値の候補を絞りミ
『えにたどりつくことができる。
また,上の解答では,積が 40 となるような2つ
日然数の組を調べる必要があるが,そのような組
有のロで示された, 2数を選ぶと決まる。
=2
40 の正の約数
40=2°-5 から(3+1)(1+1)=8(個
1)22組の
