x=‪α‬,β,γが解なんだから
3‪α‬³+6‪α²‬-3‪α‬+2=0⇔‪α‬³=-2‪α‬²+‪α‬-2/3
‪α‬⁴=‪α‬×‪α‬³=-2‪α‬³+‪α‬²-2‪α‬/3
=-2(-2‪α‬²+‪α‬-2/3)+‪α‬²-2‪α‬/3
=5‪α‬²-8‪α‬/3+4/3
同様にしてβ⁴=5β²-8β/3+4/3,γ⁴=5γ²-8γ/3+4/3
という等式が得られるので
‪α‬⁴+β⁴+γ⁴=5(‪α‬²+β²+γ²)-8/3(‪α‬+β+γ)+4

3x³+6x²-3x+2=3(x-α)(x-β)(x-γ) より
α+β+γ,αβ+βγ+γα,αβγ は求まる。①

(α²+β²+γ²)²
= α⁴+β⁴+γ⁴+2(α²β²+β²γ²+γ²α²)

より
α⁴+β⁴+γ⁴ = (α²+β²+γ²)²-2(α²β²+β²γ²+γ²α²)

(αβ+βγ+γα)²
=α²β²+β²γ²+γ²α²+2(α²βγ+αβ²γ+αβγ²)
=α²β²+β²γ²+γ²α²+2αβγ(α+β+γ)

より
α²β²+β²γ²+γ²α²=(αβ+βγ+γα)²-2αβγ(α+β+γ)

よって
α⁴+β⁴+γ⁴=(α²+β²+γ²)²-2(αβ+βγ+γα)²+4αβγ(α+β+γ)

※ (1) からα²+β²+γ²、①からα+β+γ,αβ+βγ+γα,αβγを代入すればよい。

(1)²-2(α²β²+β²γ²+γ²α²)

α²β²+β²γ²+γ²α²＝(αβ+βγ+γα)²-2αβγ(α+β+γ)

6²-2［(-1)²-2・2/3(-2)］

＝86/3

違ったらすまん