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重要 例題 46 2次方程式の解と係数の関係と式の値
00000
2次方程式x2-mx+p=0の2つの解をα, βとし, 2次方程式x-mx+q=00
2つの解を y, 8 (デルタと読む)とする。
(1) (y-a)(y-β) を p, g を用いて表せ。
1.7235
(2)か,gがxの2次方程式x²(2n+1)x+n²+n-1=0の解であるとき,
(r-a)(y-B)(8-α) ( 8-β) の値を求めよ。
おまいられ」とい
基本41,44)
INTLU
指針解と係数に関係した問題では,次の3つ (互いに同値) を使い分けることが重要。
① 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解がα, B
32SUUS
[2]_a+B==b, aß=
[3] ax²+bx+c=a(x-a)(x-B)
(1) (y-a)(y-B) の式を導きたいから,x-mx+p=(x-a)(x-β)であることを利用し
て考える。
(2)(1) と同様に,(ô-α) (8-B) をp, gで表し,解と係数の関係を利用。
解答
(1) α,β は x-mx+p=0の2つの解であるから
この等式の両辺にx=y を代入して
-(1-we)
x2-mx+p=(x-a)(x-β) Most cesty
また, yはx-mx+g=0の解であるから
r²-my+q=0
ゆえに
stuc-vs+x(1-4)²+x=9
e-my+b=(y-a)(y-B).... ①ヶ靴代媛因覧でただ1
p+g=2n+1, pg=n²+n-1
(p−q)²=(p+q)²− 4pq
指針の3 を利用。
よって
e-my-my を消去。
① に代入して (r-a)(r-B)=p-q
(2)もx-mx+g=0の解であるから, (1) と同様にしてーーーー
(8-α)(8-B)=p-q
21st (1
よって
(r−a)(r—B)(8—a)(8−ß)=(p−q)²
ここで, b, g は x2 - (2n+1)x+n²+n-1=0の解であるか
ら, 解と係数の関係により
=(2n+1)²−4(n²+n−1)=5
よって (y-a)(y-B) (8-α) (8-B)=5
#(1=Y)&-
etviv
(1) のyを8におき換える
だけで、まったく同じこと
がいえる。
(パーズ指針の ② を利用。
◄(p−q)²=p²-2pq+q²
FU=(p²+2pq+q²)-4pq
=(p+q)²—4pq
