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52 XX
基本例題 29 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1)a+b≧a|+|6| (2)|a|-|6|≦la+b] (3)|a+b+cl≦|a|+|6|+|
基本28 重要 30
指針 > (1) 例題 28
|A= A を利用すると、 絶対値の処理が容易になる。 そこで
.........
ABA'≧B'⇔A'-B'≧0
A≧0, B≧0のとき
の方針で進める。また、絶対値の性質 (次ページの①〜⑦) を利用して証明してもよ
(2),(3) 似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。
CHART 似た問題 1 結果を利用
②2 方法をまねる
解答
(1) (a+b)²-|a+b|²=a²+2|a||b|+b²-(a²+2ab+b²)
=2(abl-ab)≧0
|a+b≤(a+b1)²
よって
la+b≧0,|a|+|6|≧0から
|a+6|≦|a|+|6|
別解] 一般に,|a|≦a≦|a|-|66|6| が成り立つ。
この不等式の辺々を加えて
-(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
したがって
la+6|≦|a|+|6|
(2) (1) の不等式でαの代わりに a +6, 6 の代わりに -6 と
おくと
(a+b)+(-6)≦la+6+1-6|
よって |a|≦a+6|+|6|
[別解] [1] |a|-|6| <0のとき
ア
ゆえに |a|-|6|≦la+61
a+b≧0であるから, |a|-|6|< la +6は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のとき
よって
|a+6-(|a|-|6|²=a²+2ab+b²-(α²-2|a||6|+62)
=2(ab+lab)≧0
よって
(la|-|b|)² ≤|a+b|²
|a|-|6|≧0,|a+b≧0であるから
[1], [2] から la|-|b|≤|a+b|
(3) (1) の不等式でもの代わりにb+c とおくと
la+b+c)|≦|a|+|b+cl
la+b+cl≦|a|+|6|+|c|
≦|a|+|6|+|c|
|a|-|6|≦|a+6|
8800000
4
at
◄|A|²=A²
|ab|=|a||6|
この確認を忘れずに。
|A|≧A, A≧-A か
|-|A|≦a≦|A|
-B≦A≦B
⇔ [A]≦B
<ズーム UP 参照。
<|a|-|6|<0≦la+6
[2] の場合は, (2) 左
右辺は0以上であるから
(右辺) (左辺)≧0を示
す方針が使える。
練習
(1) 不等式√²+2+1√x²+y²+1≧lax+by+1」を証明せよ。
③29 (2) 不等式|a+b|≦|a|+|6|を利用して,次の不等式を証明せよ。
(ア) |a-6≦|a|+|6|
(イ) |a|-|6|≧|a-6102
(1) の結果を利用。
(1) の結果をもう1回利用
(|b+cl≦|6|+|c)
Cp.60 EX19
ズーム
UP
その内
絶対値
数学Ⅰで
いて
€
なわち,
絶対値を
例題 29 に
(証明で
が多く煩
そこで,
~ (1) 指針
ない。
例題28
(2) 左辺
lal-le
いが,
証明
とみ
ここ
(3) は, (1)
参考
(1).
例題 29
(1) 等号
すなわ
(2) 等号7
の代わ
(3) 等号7
おいた
a(b+c)
また,
よって,
