分かりやすく解説お願いします

! 発 例題 展 46 連立不等式が解をもつ条件 x<6 連立不等式 .2x+3≧x+α 値の範囲を求めよ。 << 標準例題36 の解について,次の条件を満たす定数αの (1) 解をもつ。 (2)解に整数がちょうど2個含まれる。 2章 CHART & GUIDE 連立不等式の解の条件 数直線で考える ■各不等式を解く。 2 不等式② の解はx≧(αの式) ②'の形。 数直線上に、条件を満たすように範囲 ① ② を図示することでαの不等 式を作り、それを解く。 ☑ www 発展学習 例えば, (1) では ① ②' の共通範囲が存在する ことが条件であるから, 右のような数直線を考 えて ○<6 という (αの)不等式を作る。 1 6 x 解答 ② を解くと x≧a-3. ②' (1) 連立不等式が解をもつための条件は a-3<6: これを解いて a<9 とその (2) α <9 のとき,①,②'の共通範囲は a-3≦x<6 これを満たす整数xがちょうど2個あるとき, その値は x=4, 5であるから, α-3が満たす条件は ① a-3 6 x 3 <a-3≦4 ...... 各辺に3を加えて 6<a≤7 BC-TV- 1 3 4 5 6 ●5 x a-3 Lecture 不等号に=が含まれる含まれないに要注意! 上の解答で,アを α-3≦6 としてしまうと, α-3=6 すなわち α=9 のとき ②' が x≧6 となり,①と②' の共通範囲が存在しなく なるので誤りである。 (1) α9のとき また,イについても, 3, 4 を α-3の値の範囲 に含めるかどうかに注意が必要である ( →右図参 照)。 6 x (2) 3=α-3(a=6) のとき (2) a-3=4 (α=7)のとき 3 4 5 6 x 整数の解は3個で、ダメ。 整数の解は2個で, OK。 456 X

（3）の計算ができなくてpに X＝1＋√2i代入する？ってなったら1番下のp＝の形にできなくてやり方教えて欲しいです

準 60 高次式の進 P=x-2x+6 とする。 (1)x=1+√2のとき, x²-2x+3=0 であることを証明せよ。 (2) Pをx²-2x+3で割ったときの商と余りを求めよ。 CHART x=1+√2i のとき, Pの値を求めよ。 & GUIDE 高次式の値 割り算の等式 A =BQ+R を利用する (1)x-2x+3 に x=1+√2i を代入して0になることを導いてもよいが, x-1=√2iとして両辺を2乗すると,√が消え、計算がらくになる。 (3)P=x-2x+6 に x=1+√2i を代入すると,計算が大変。そこで,割り算の等式 を利用する。 (2)で求めた商をQ 余りをRとするとP=(x²-2x+3)Q+R 解答 (1) から, x=1+√2i のとき下線部は0になる。 (1) x=1+√2i から x-1=√2i 両辺を2乗して (x-1)2=(√2i) 2 よって x2-2x+1=2i2 整理して x²-2x+3=0 <<-212=-2 [別解] x=1+2iのとき x²-2x+3=(1+√2 i)-2(1+√2i)+3 (2) 右の計算から =1+2√2i+2-2-2√2i+3=0 x+2 商x+2, 余り x x²-2x+3)x3 (3)(2)から 商 2 さ 1 P=(x²-2x+3)(x+2)-x Pに x=1+√2i を代入すると, (1) から P=0-(1+√2i)=-1-√2i -2x+6 x3-2x2+3x 2x2-5x+6A=BQ+R の形。 2x2-4x+6(1) から, x=1+√2の 811x ↑直接代入でもいい mmm Lecture 次数下げに認 とき x²-2x+3=0

3行目からよくわからなくて場合に分けるのはわかったんですけど😭3行目の範囲？もなんか一二行目の範囲？と三行目の範囲なんか合わなくてわかんないです😭

標 例題 準 207 絶対値を含む関数の定積分 定積分 Sx-4/dx を求めよ。 CHART GUIDE 2 p.337 定積分の性質3を, 右辺から左辺にみる。 絶対値場合に分ける |4|={_A (4≧0) ■ 絶対値記号の中の式x-4 の符号に応じて、 場合分けを行う。 積分区間の連結の逆は、 積分区間の分割になる。 積分区間(1≦x≦3)内での,正・負の境目 x=2で分割する。 Sf(x)dx=S,f(x)dx+S2f(x)dx CHAR & Gu -A (A≤0) 発 発展 例 展 20 等式 解答 オセロ 定積分のつく (x≦-2,2≦x) 定積分の計算では を両方に付ける。 x2-4 |-4|={(-4) (−2≦x≦2) 1≦x≦2 のとき ゆえに 2≦x≦3のとき 2 x-4|=(x²-4) |x-4|=x24 よってS|x|dx=S"|x|dx+S|ペーム =S,{(x-4)}dx+S (x-4)dx 1 3 解答 x1 S ・1 + 【 -4x 3 ■F(x)=-4xと よ 23 33 と定積分の計算は =-2 --4・2+ -4・3 - {F(2)-F(1)} 3 --2(1-8)+(1-4)+(9-12)-4 Lecture 定積分と面積 「関数 y=|x2-4| のグラフと x 軸,および2直線 x=1, x=3 で囲ま れた部分の面積Sを求めよ」 という問題を考えると,求める面積は右の 図の赤い部分の面積である。 よって,S=S|x2-4|dxとなり,上の例題の定積分と同じである。 TRAINING 207 ③ 次の定積分を求めよ。 +{F(3)-F(2) =-2F(2)+F(1)+ f( る -2 0 と T と

これどうやって考えるんですか？答えみても座標？が３つあるのも良くわかんないです😭

自由 例題 113 空間の点の座標, 原点0との距離 00 (1) 点P(2,3,1) から xy 平面, yz 平面, zx 平面にそれぞれ垂線 PA, PB, PCを下ろす。 3点 A, B, C の座標を求めよ。 2点P(2,3,1)とxv平面, yz 平面, 2x 平面に関して対称な点をそれぞれ D,E,F とする。 3点D,E,F の座標を求めよ。 (3) 原点Oと点P(2, 3, 1) の距離を求めよ。 CHART 解答 GUIDE (1)(2)座標の符号の変化に注意。 点P を通り, 各座標軸に垂直な3つの平面と3つの座標平面で作られる 直方体をかいて考えるとよい。 (3) 原点OP(a, b, c) の距離 OP = √2+b+c (1) A(2, 3, 0) B(0, 3, 1) C(2, 0, 1) (2) D(2, 3, -1) E(-2, 3, 1) F(2, -3, 1) (3) OP= √22+32 +12 =√14 ZA -3 F O B CP 13 XX 5章 座標平面上の点の座標 xy 平面上→ (α, 6, 0) 24 CE y yz 平面上→ (0, b, c) zx 平面上→ (a, 0, c) 平面上 ▲座標以外は 0 座標軸上の点の座標 x軸上→ (α, 0, 0 ) y軸上→ (060) z軸上→(0,0,c) ●軸上→座標以外は 0 座標の考え方 Lecture 空間の点の座標 座標空間は3つの座標平面で8つの部分に分けられる。 そして, 点P(a, b, c) がどの部分に存 在するかは, a, b c の符号によって定まる。 また、点P(a, b, c) と,各座標平面,各座標軸に関して対称な点の座標は xy 平面に関して対称な点 (a, b, -c) yz 平面に関して対称な点 (-a, b, c) ZX 平面に関して対称な点 (a, b, c) 一部分の符号が変わっている。 となり, 軸に関して対称な点 (a, -6, -c) 軸に関して対称な点 (-a, b, -c) 軸に関して対称な点 (-a, -bc) TRAINING 113 ② (1)P-2,4,3) から xy平面, yz平面, zx 平面にそれぞれ垂線 PA, PB, PC を下ろす。3点 A, B, C の座標を求めよ。 0 (つ) P(-2 43x平面, yz 平面, zx 平面に関して対称な点をそれぞれD,E,

⇦の証明のところで、b1を0でない場合と0の場合で考える理由はどうしてですか？ b1が0でなくても、aがどちらも0だった場合aベクトル//bベクトルは成り立つのですか？ 「⇦の証明」があまり理解できていないので、全体的な説明もしていただきたいです。 お願いします。

Lecture ベクトルの平行条件と成分 CHART & GUIDE の [2] を証明してみよう。 →の証明) [1] から, a とすると (a1, a2=k(by, b2) となる実数kがある。 ゆえに α = kb1 ...... 1, a2=kb ②が成り立つ。 ① ② から abż-a2b1=kbixb-kbz×b1=0 (←の証明) ab2-a2b1=0 から, 610 のとき a2= )=(2 10- b₁ d1b2 a₁ よって, i=k とおくと, a,=kb, a2= kbz すなわち a = kd から at が成り立つ。 b₁ また,b=0 のとき から から b₂=0 ゆえに a1=0 このとき,a≠0 から a2+0 a2 したがって =kとおくと, aka // が成り立つ。 b2

高校数学、多項式の整理の式の書き方についての質問です 左の画像の(2)や(3)では、定数項を()でくくって書いています。しかし、右の画像の(3)では、定数項を()でくくらずに書いています。どちらも白チャートの問題なのですが、この表記の違いはなんでしょうか？どちらかが正しいの... 続きを読む

L につ 以外の文字はすべて数と考える。 2 同類項をまとめる。 高 最も次数の高い頃から、順に次数が低くなるように、定数項まで並べる。 [ ET MO (1) a³-3x+2-2x2-x3-2x2-3x+2 3次 2次 1次 0 次 (2) ax-1+α+2x'+x=2x2+ax+x+a-1 =2x2+(a+1)x+(a-1) 多項式で, 順を降べき (2) alt axx 1次 20次 2次 (3) y la (3) 3x²+2xy+4y²-x-2y+1 =3x2+2yx-x+4y2-2y+1 =3x2+(2y-1)x+(4y²-2x+1) 2yx 答え 項も 2次 1次 20次 順に m Lecture 式の整理 着目する文字によって整理後の式は異なる。 (2) αについて降べきの順に整理すると (3) yについて降べきの順に整理すると 何について整理するのかをきちんと切に (x+1)a+ (2x2+x-1) 4y2+2(x-1)y+(3x2

二次方程式の解についての質問です。 マーカー部分ですが、なぜこの形になるのかがわからないです。②の式の左辺を変形したらいいと書いていますが、どう変形したらそうなるのか教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇🏽

発例題 展 52 2次方程式の解についての証明問題 <<< 基本例題46 ① 000 a b は定数とする。 方程式 (x-a)(x-b)+x+1=0 の2つの解をα,Bとす。 ると,方程式(x-a)(x-β)-x-1=0 の2つの解は a, b であることを証明 せよ。 CHART 解と係数の問題 GUIDE 解と係数の関係を書き出す すると、この例題の 一解答の方程式 ①,②から。 条件は α+β=a+b-1, αβ=ab+1 結論は a+b=a+β+1,ab=aβ-1 となり,③ から ④を示すとよいことになる。 ...... 4 解答 (x-a)(x-b)+x+1=0 の左辺を展開して整理すると x2-(a+6-1)x+ab+1=0 ① この2つの解がα, β であるから,解と係数の関係により ゆえに a+β=a+b-1, aβ=ab+1 a+b=a+β+1, ab=aβ-1 このことは, a, b が2次方程式 x2-(a+β+1)x+αβ-1=0 すなわち (x-α)(x-β)-x-1=0 の解であることを示している。 Lecture 因数分解の利用 x²+px+g=0 の2つの 解がr,s ⇔ r+s=-p rs=q GUIDE の方針により, 1 を移する。 FotstJ ■x2-(和)x+ (積) = 0 ②の左辺を変形。 2次方程式の解α, β に対して, (x-α)(x-B), (-a) (-B), (α-)(B)の形の式 が出てきたときは 平 ax2+bx+c=0 の2つの解がα, ßax+bx+c=a(x-a)(x-β) を利用することで, あざやかに解決できることがある。 [上の例題の別解] (x-a)(x-b)+x+1=0 の2つの解がα, β であるから 左辺は, (x-a)(x-b)+x+1=(x-a)(x-B)と因数分解できる。 (x-a)(x-B)-x-1=(x-a)(x-b) ゆえに よって, ← 移項 (x-a)(x-β)-x-1=0 の2つの解は a, b である。 J 全宗

数学的帰納法について質問です。 マーカー部分、なぜ急に不等式が出てきているのか、またマーカー部分は何より小さいのか全くわからないです。 解説していただきたいです。よろしくおねがいします。

準 nを3以上の自然数とするとき, 不等式 4"> 8n+1 CHART (A)を証明せよ。 すべての≧で成り立つことの証明 GUIDE HART [1] 出発点 n= のときを証明 生 [2]n=k(k≧) のときを仮定し, n=k+1のときを証明 本問では「n≧3 のとき」という条件であるから,まず,n=3のとき不等式が成り立つ ことを証明する。なお、n=k+1のとき示すべき不等式は 4'+'>8(k+1)+1である。 不等式A>B を示す代わりに A-B>0 を示す。 |答 [1] n=3のとき (左辺) =4=64, (右辺) =8・3+1=25 よって, n=3のとき, (A)が成り立つ。 [2] k≧3 として, n=k のとき (A) が成り立つ,すなわち 4k8k+1 川 <64>2503 「3」を忘れずに。 が成り立つと仮定する。 n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると 4+1_{8(k+1)+1}=4・4-(8k+9) 48+1)-(8k+9) =24k-5>0 ← k≧3から。 すなわち 4k+1 > 8(k+1)+1 よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 ◆ここで上の仮定 4>8k+1 を活用。 40 であるから 4>8k+1 ) の両辺に4を掛けても、 [1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについて(A)が成り不等号の向きは変わらな 立つ。 Lecture 出発点を変えた数学的帰納法大 「nが自然数のとき」ではなく、 「n≧m のとき」のような, ある特定の数以上のすべての自 然数について成り立つことを証明するには,出発点を変えた数学的帰納法を利用する。 その手順 は、次の通りである。 の場合、例題 26 での数学的帰納法。 [1] n=m のときを示す。 ←m=1の場合が, [2]n=k(ただし, k≧m) のときを仮定して, n=k+1 のときを示す。 注意 上の例題で n=1, 2 のとき, 4”は順に4, 16, 8n+1は順に 9, 17であり, 4">8n+1 は成り立たない。よって,機械的に「n=1 のとき,不等式は成り立つ。」など と答案に書かないようにしよう。

数列について質問です。 青いマーカー部分ですが、なぜ(2n-3)とわかるのでしょうか？？？ 解説していただきたいです。よろしくお願いします。

E 000 標 例題 準22 (等差)×(等比)}型の数列の和 { n≧2 のとき, 和 S=1・1+32 +52 +･･････ +(2n-1)・2-1 を求めよ。 CHART & GUIDE { (等差) X (等比)} 型の数列の和S S-rs を計算 〔類 京都産大) この和は,等比数列の和 1+2+2+... +2" によく似た形。 そこで,等比数列の和の公 式を導いたときと同じように, S-2S を計算してみる。 解答 S=1・1+3・2+5・2+......+ (2n-1)・2"-1 両辺に2を掛けると 2S= 1・2+3・22+... + (2n-3)2"-1+(2n-1)・2" 辺々を引くと S-2S=1+ 2・2+2・2+･･････+ =1+2(2+2+ ......+2-1)-(n-1)2 2.2"-1-(2n-1)・2 =1+2・ 2(2n-1-1) 2-1 -(2n-1) 2n art=1+2+1-4-(2n-1).2" よって =(3-2n) •2"-3 -S=-(2n-3)・2"-3 したがって S=(2n-3)・2"+3 Lecture 数列 {a} が等差数列のときの数列{arn-1} の和 ◆S-2S を計算しやすい ように, 項の位置をずら して書く (2の項が同じ 位置にくるようにする)。 ← 2+2 + ...... +2 -1 は, 初項2. 公比2. 項数 n-1の等比数列の和で ある。 ◆右辺を の形にし ておくとよい。

(2)のマーカーで囲った部分について質問なのですが、なぜx=4,5とわかるのでしょうか？

79 |発 例題 <<< 標準例題 36 ★ 展 46 連立不等式が解をもつ条件 00000 x<6 連立不等式 ① 2x+3≧x+α の解について,次の条件を満たす定数 αの 値の範囲を求めよ。 (1) 解をもつ。 (2)解に整数がちょうど2個含まれる。 2章 CHART & GUIDE 連立不等式の解の条件 数直線で考える 1 各不等式を解く。 不等式 ② の解はx≧〇(αの式) ②の形。 ... 2 数直線上に,条件を満たすように範囲 ① ②' を図示することでαの不等 式を作り, それを解く。 例えば, (1) では ① ②'の共通範囲が存在する ことが条件であるから,右のような数直線を考 えて ○<6 という (αの) 不等式を作る。 6 x 解答 ②を解くと xa-3 (1) 連立不等式が解をもつための条件は α-3<6 これを解いて a<9 (2) α <9 のとき,①,②' の共通範囲は ...... a-3≦x<6 これを満たす整数xがちょうど2個あるとき, その値は x=4,5であるから, α-3が満たす条件は ① -113+1523-11-2009 3 < a-3≦4 各辺に3を加えて Lecture 不等号に=が含まれる・含まれないに要注意! 上の解答でをα-3≦6 としてしまうと, α-36 すなわち α=9 のとき②' が x≧6 となり、①と②' の共通範囲が存在しなく なるので誤りである。 ① a-3 ① 3 4 5 6 x a-3 (1) α=9のとき ② 発展学習 また,イについても, 3, 4 を α-3 の値の範囲 に含めるかどうかに注意が必要である ( →右図参 照)。 6 x (2) 3=a-3(a=6) のとき (2) a-3=4(a=7)のとき 心に 3 4 5 6 x 1456 整数の解は3個で, ダメ。 整数の解は2個で, OK。 X TRAINING 46 ⑤ 3x-7≦5x-3 の解について,次の条件を満たす定数 αの値の範囲を求