3番についてどう言った式変形をしてまるで囲んだところになったのか教えてほしいです。

e=1+ n=1 n! 127 考え方 n+1° (2)00 のとき, 0≤tan≤1 (√ f'(x) dx=log|f(x)| + C. であるから, (Cは積分定数) tan" ≥tan' とき 0≦tan0≦1 である 4 から, (3)(2)より, tan"≥tan n+1 0. *tan" o dofta 0. n+1 tan' odo. In≥ In+1. In\In+In+2 +1 n+1 一般に, 21n+2≤In+In+2≤21. a≤x≤bt = f(x) dx ≤9(x) dx. f(x)≤g(x) => (1)より, 21m+ 2 SS21m. n+1 (3)(1),(2)よりハサミウチの原理を考える. 右側の不等式より, 解答 (1) (E) n ≤nIn. ...② 2(n+1) (1) 左側の不等式より, =*tano do =[-log | cos 01] = -log- 1 1/ -log 2. In+In+2= (tan" 0+tan" +20) de (1+tan20)tan" de -fa 4 = 1 COS tan" de...①I π 4 n+1 -tan' n+1 1 n+1° [注] tant とおくと, (n+2) In+2- n+2 よって, n nIn≤ 2(n-1)* 2(n+1)* (n=3, 4, 5, .) ..), ・③ ②、③より, n≧3 のとき, 2(n+1) n n -≤nIn≤ 2(n-1)' n 1 lim- -=lim- n→∞ 2(n+1) 12100 1 21+ n 1 =lim 12-00 1-- n. 1-2 1-2 17 lim- 22100 n 2(n-1 n-1) であるから, lim nIn= 12100 1 d0= dt. COS² D=ft" dt n+ π 0 0 → 4 t 0 -> 1 128 考え方 (1) In+1=x+1(e)'dx. (2)0 <In+1<In を示して, (1) を用いる. (3)(2)の不等式を利用する.

模範解答と私の解答です きちんと定義に従って解答したつもりですが、 どうやら間違っているようです どこがいけないのか教えていただきたいです

次の極限値を求めよ。 ただし, は正の定数とする。 EX 361 tan (x)-1 (1) lim 4x-1 eath-ea (2) lim h-o log(a-h)-loga (1) f(x)=tan (x) とすると (3) lim- xa [(1), (3) 立教大] a²sin²x-x²sin² a x-a HINT] 微分係数の定義 式を利用する。

aとxを入れ替えずにやるとf（x）の値が異なってしまいます（2枚目の写真です）。 なぜ入れ替えて計算しないといけないんですか?そのままやったら間違ってる理由も教えて欲しいです。

380 基本例題 242 定積分と微分法 次の等式を満たす関数 f(x) および定数a の値を求めよ。 00000 (1)f(t)dt=x²-3x-4 71(2) (2) f(t)dt=x³-3x p.374 基本事項 d dx |指針 a が定数のとき、Sf(t)dt はxの関数である。その導関数について,F(8)= とするとSoftata[F(t)]-1(F(x)-F(a))=F(x)=f(x) d dx 定数 F (a) は xで微分すると0 であるから,off(t)dt=f(x)が成り立つ。 Ja d また,等式でx=a とおくと, Sof(t) dt=0 であるから,左辺は0になる。これより αの方程式が得られる。 (2)まず,与えられた等式を。f(t)dt=-x+3x と変形して,両辺をxで微分。 CHART 定積分の扱い SS を含むならxで微分 (1)S*f(t)dt=x-3x-4……… ① とする。 解答 ①の両辺をxで微分すると cSf(t)dt=2x-3 あ すなわち f(x)=2x-3 Sof(t)dt=f(x) また, ① で x=α とおくと, 左辺は0になるから 0=α²-3a-4 Sof(t)dt=0 よって (a+1)(a-4)=0 a=-1,4 したがって f(x)=2x-3;a=-1, 4th()( (2) Sef(t) dt=x-3xから (1)しさん? X ◄S¢ƒ(t)dt=−S*ƒf(t)dit Ss(t)dt=-x+3x ② 上端と下端を交換しない d=jbで ②の両辺をxで微分するとSof(t)dt=3x2+3 すなわち f(x)=-3x2+3 また,②で x=αとおくと, 左辺は0になるから 0=-α+3a ゆえに a(a²-3)=0 よってa=0, ±√3 したがって f(x)=-3x2+3;a=0, ±√3 dca dx Saf (t)dt=-f(x) としてもよい。

この問題において、絶対値って解法のどこに反映されているのでしょうか？ f(a)=~ の式に絶対値があるのとないのではどう違いますか？ 分かりづらい質問ですみません🙇‍♀️

[6.2] 実数αに対して f(a)=S|エ(+α)|d とおく f (a) の最小値およびそのときのαの値を求めよ。 y=x(x+a)のグラフ 絶対値の入った積分 ① y=f(x)のグラフをかく ②積分区間と符号を かきこむ どこにいきてる? -a (i) 920 (i) a≧0のとき → a (ii) ask(ii)-1≦a≦0 fta)=ox(x+a)dx=[1/3+/ax]!=/atg (ii) a≦-1のとき fta)=)-x(x+a)dx=/12/α-32 (iii)-1≦a≦0 f(a) f(a)=10-x(x)dx+ax(x)dx [x-for³] [{for I'a a3 a 3 g, 2 03 x2 + 3 x+ 0 Zax + 2 a 3 773504 Sa Sa 5-9 のとき手とめて簡単にできる。 Acas (答) a=-Fant fra/mm² frag gland 20 a 732015

解説の下線部を教えていただきたいです。 なぜsin(β-α)ではなくsin(α+β)になるのかが分かりません。 問題は2枚目に載せてあります。

-･) 59 59 (1)√3 sina =2sinx -2sin r =2sin| (2) 0≤x< π 6 58 (解I)(加法定理を使って) y=x,y=2x, y=mx がx軸の 正方向となす角を それぞれ大は16 α, B, 0 (0<a<8 <B<90°) とおくと, a+B 0 = a + B 2 yy=2xy=mx B tana=1, tanβ=2, tan0=m ...tan20=tan (a +β) = +tanβ tana + tan B-fell fun (1-x) なぜkm(x) 1-tanatan B y=x X (1)より =-3 ではない? 1, 2 2 tan 0 よ 次に, tan20= 1-tan20 だから, 3tan20-2tan0-3=0 .. m=tan0= 1+√10. 60 (m>0) 3 が, よって、 求める直線は Sna (1) y y= -IC を求め 使って) 1+√10 3 (解Ⅱ)(点と直線の距離の公式を使って) y=mx 上の点 (x, y) + 20 y=2xy=mX = (2) y=xC = =

⑷なのですが計算が大変で計算ミスをしてしまいました。何か簡単な計算になるような工夫があれば教えて頂きたいです🙇‍♀️

3 S₁ (x²x²+15x-10) dx + 3 S(-パ-ク×-15x+10)dx 答え 125 192

(1)を、それぞれの直線を平行移動させて原点を通る2直線に変えて(切片を無視するため)解いたのですが、 範囲が90°未満になる理由が分からないです(マークしてます)。 参考書通りの解法なら180°を超えたりしないのは分かるのですが、自分のやり方だと有り得るように感じてしまい... 続きを読む

基本例 1522 直線のなす角 0000O (1) 2直線、3x-2y+2=0, 3√3x+y-1=0 のなす鋭角0を求めよ。 |(2) 直線 y=2x-1との角をなす直線の傾きを求めよ。 p.241 基本事項 2 ① 2直線のなす角 まず 各直線とx軸のなす角に注目 指針 直線y=mx+nとx軸の正の向きとのなす角を0とすると m=tane (0≤0<, 0+7) (1) 2直線とx軸の正の向きとのなす角をα β とすると, n m y=mx+n n 2直線のなす鋭角0 は, α <βなら β-α または π(β-α) で表される。 ←図から判断。 0 この問題では,tanα, tan β の値から具体的な角が得られないので, tan (B-α)の計 算に 加法定理 を利用する。 解答 (1)2直線の方程式を変形すると 13 y=-33x+1 4y y= -x+1, y=-3√3x+1 2 図のように, 2直線とx軸の正 の向きとのなす角を,それぞれ α, β とすると, 求める鋭角 0 は tanα 2 0-B-a tan B=-3√√3 T tan0=tan(β-α)=- tan β-tana 1+tan βtana 8 a 0 x =x+1 01 800 1 -(-3√3-3)=(1+(-3√3)=√3 2 2 0<< であるから 0 (2)直線 y=2x-1とx軸の正の向 y y=2x きとのなす角をα とすると /y=2x-1 tang=2 tana±tan- tan(a±)= 2±1 1Ftantan- 4 π 4 0 4 1 4 1+2・1 (複号同順) であるから x 単に2直線のなす角を るだけであれば, p.241 本事項 2 の公式利用が い。 傾きが m1, m2の2 のなす鋭角を0とする m-m2 tan 0= 1+mm2 別解 2直線は垂直でないか tan 0 √3 2 --(-3√3 1+2 (-3v 2 7√3 7 ÷ -=√√√3 2 2 00から0= 2直線のなす角は それと平行で原 2直線のなす角に そこで,直線y= を平行移動した y=2xをもとに

1枚目の丸をつけたところはどうやって分かるんですか？

To a + 1 Q4 から, ~|| +a4 as Jet $0 OVEX (4) 0205 *8>020 ftat + a² は実数であ SV 4+ a ¹ = z 170 αβが実数のとき すなわち 指針 「zが実数⇔ =z」 を利用する。 z aß = aß α = 0, a ≠ 0 から,両辺をxで割ると よって, Non Sr ら B a よって, 171 ·S-1-) B = a B a β=ka となる実数んがある。 逆に, β=ka となる実数んがあるとき, α≠ 0 か ß- a B a aß=aß は実数であるから, B B すなわち (22)=1 a = k (2) - B = a 50-1=50 は実数であるから すなわち a a a 両辺に αα を掛けると すなわち aß=aß したがって, aβ は実数である。 指針 =kすなわち BB a aß = aß Jet +レール (1) 注意すると

⑵の問題を、わたしは2枚目のように解いたんですけど、それでも一応解けますよね、？あと、その場合1/3はどうやって出せるんですか、！！🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

B) の値を求めよ cos0=1 を利用し (a+B), が、COS αCOSBと 象限に注意。 Asina+cos 角α. B sin' B+cos 312 5 13 412 13 ◄sin(a-8) を求め, 1518318 sin(α-B) cos(a- 計算してもお 54 Exp sin'a+cost sin³8+cos 基本例題 152 2直線のなす角 (1) 2直線3x-2y+2= 0, 3√3x+y-1=0のなす鋭角を求めよ。 | (2) 直線y=2x-1との角をなす直線の傾きを求めよ。 IP 2直線のなす角まず, 各直線とx軸のなす角に注目 指針 直線y=mx+nとx軸の正の向きとのなす角を0とすると m=tano (0≤0<n, 0+12 ) (1) 2直線とx軸の正の向きとのなす角をα,βとすると, 2直線のなす鋭角0 は,α<BならB-α または π-(β-α) で表される。 ←図から判断。 この問題では, tana, tan βの値から具体的な角が得られないので, tan (B-α) の計 算に加法定理を利用する。 解答 (1) 2直線の方程式を変形すると √3 -x+1, y=-3√3x+1 y= 2 図のように, 2直線とx軸の正 の向きとのなす角を,それぞれ α, β とすると, 求める鋭角は 0=B-a √√3 2 tan0=tan(β-α)= tan a= tanβ=3√3で π TC 0<0< 3 (2) 直線y=2x-1とx軸の正の向 きとのなす角をα とすると tana=2 であるから tan(a+4)= tan β-tana 1 + tan βtana tan a tan 0= y=-3√3x+1 -(-3√3-√3)=(1+(-3√3). √3)=√3 /3 2 π 4 π 4 2±1 (複号同順) 1+2.1 であるから 求める直線の傾きは 1Ftan a tan y=- √3 2x+1 a -1 A 0 0 π 4 Ay O y=2x -3, -1/1 3 B TC 4 x /y=2x-1 x n p.241 基本事項 2 yA n Y - 000 O 練習 (1) 2直線x+3y-6=0, x-2y+2=0のなす鋭角0 を求めよ。 ② 152 (2) 直線y=-x+1と 単に2直線のなす角を求め るだけであれば, p.241 基 本事項 2 の公式利用が早 い。 0 傾きが m1 m2の2直線 /y=mx+n のなす鋭角を0とすると tan 0= 7√3 2 0<a< 2 別解 2直線は垂直でないから tan 0 x --(-3√3) 1+√(-3√3) 2 mm2 1+m1m2 7 L =R 245 2直の9円は、 ぞれと平行で原点を通る 2直線のなす角に等しい。 そこで,直線y=2x-1 を平行移動した直線 y=2x をもとにした図を かくと, 見通しがよくな る。 の角をなし, 点 (1,√3) を通る直線の方程式を求めよ。 4 章 2加法定理

⑵がいみわかんないです。なんでπ/4がここに入るんですか。また±になってる理由がわかりません。

sin(Q+B), B) の値を求めよ。 cos0=1 を利用して るが、COS acos Bと 36 角α B 象限に注意。 Asina+cos Asin²B+cos 31216 5 13 65 412 5 13 . 11 2013/18 ◄sin(a-8 を求め, sin(a- cos(a- 計算してもお "sin'a+adin sin³8+cos n(er-8), 基本例題 152 2直線のなす角 (1) 2直線√3x-2y+2=0,3√3x+y-1=0のなす鋭角0を求めよ。 4 | (2) 直線y=2x-1 と の角をなす直線の傾きを求めよ。 の値を求め 指針 IB 解答 2直線のなす角 まず、各直線とx軸のなす角に注目 直線y=mx+nとx軸の正の向きとのなす角を0とすると m=tane (0≤0<n, 0= 7 ) (1) 2直線とx軸の正の向きとのなす角をα, β とすると, 2直線のなす鋭角0は,α <βなら β-α または π- (B-α) で表される。 ←図から判断。 (1) 2直線の方程式を変形すると √√3 -x+1, y=-3√3x+1 2 図のように, 2直線とx軸の正 の向きとのなす角を,それぞれ α, β とすると, 求める鋭角は 0=β-α y= √3 2 tan0=tan(β-α)=- tan a=- 9 tanβ=3√3で tan(a+4)= この問題では, tan α, tan βの値から具体的な角が得られないので, tan ( β-α) の計 算に加法定理を利用する。 y=-3√3x+1 tan β-tana 1+tan 3 tan a tan a tan √3 y=- 1Ftan a tan- 4 (複号同順) π 0<0</ であるから 0= 75 3 (2) 直線y=2x-1とx軸の正の向 YA きとのなす角をα とすると tang=2 2001 = Ka I TEIS 4 = −(−3√3-√3)={1+(-3√3). √3)=√3 /3 2 2 340J 2004 S 0 0 16-2 y=2x 0 2±1 1+2.1 であるから 求める直線の傾きは -3, 1 3 =(0) TIA B x SELO _n m x /p.241 基本事項 2 YA n O 0 (S) Ly=mx+n -0 単に2直線のなす角を求め るだけであれば, p.241 基 本事項 2 の公式利用が早 い。 傾きが m1,m2の2直線 のなす鋭角を0とすると tan 0= m-m2 1+m1m2 x -7√3+1/3-√3 2 2 y=2x-10<<から6=7 GURA 10 2直線は垂直でないから tan 0 √3-(-3√3) 1+√3+(-3√3) 2 = 2直線のなす角は, それ ぞれと平行で原点を通る 2直線のなす角に等しい。 そこで,直線y=2x-1 を平行移動した直線 y=2x をもとにした図を かくと, 見通しがよくな る。 練習 (1) 2直線x+3y-6=0, x-2y+2=0 のなす鋭角 0 を求めよ。 ② 152 (2) 直線y=-x+1と4の角をなし,点(1,3)を通る直線の方程式を求めよ。 245 4 章 24 加法定理