なぜ3の倍数で考えるんですか？？？

Example 12 ***** 整数nは 1≦x≦100 を満たす。 n, n+2, n+4 がすべて素数となる整数 nは何個あるか。 [16 自治医大 ] 解答 まず,n, n+2,n+4のいずれか1つは3の倍数である ことを示す。 nはn=3k,n=3k+1, n=3k+2 (kは整数) のいずれか の形で表される。 Key nを3で割った 余りで分類し,n,n+2, n+4のいずれか1つ が3の倍数であること を示す。 BUA (1) [1] n=3k のと nは3の倍数である。 [2] n=3k+1 のとき n+2=3k+3=3(k+1) であり, k +1 は整数であるから, n+2は3の倍数である。 [3] n=3k+2 のとき n+4=3k+6=3(+2) であり, k +2 は整数であるから, n+4は3の倍数である。 [1]~[3] から, n,n+2,n+4のいずれか1つは3の倍数で ある。 よって, n, n+2, n+4 がすべて素数であるとき,いずれか 1つは3である。 n=3のとき, n+2=5,n+4=7 であるから,n, n+2, n+4 はすべて素数である。 n+2=3のとき, n=1 となり, 1は素数でないから、不適。 n+4=3のとき, n=-1 となり, 1≦x≦100 を満たさない から,不適。 以上から,n, n+2, n+4がすべて素数となる整数nは, n=3の1個である。 答 つの である。 低 Support 3の倍数で 素数であるものは3の みである。 という ((S)

この130の問題の特に(2)とかはそうなのですが、nを用いて一般化する問題で、こういう図形の問題を考える時めちゃくちゃ考えずらくないですか？nを用いられてるので図形を書いて可視化するみたいなこともやりずらそうですし、そういう場合どういう考え方で問題に取り組めばいいですか？

582 基本 例題 130 図形と漸化式 (1) ･･･領域の個数 8500000 平面上に、どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、 平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。 (1) どの2本の直線も平行でないとき。 (2)n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。 指針▷ (1) n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。 解答 n [類 滋賀大] n=3 1ℓ2 a2=4(図のD1~D4) であるが,ここで直線 l を引くと, ls は l l と2点で交わり,この2つの交点で l3 は3個の線分また は半直線に分けられ, 領域は3個(図のDs, De, D7) 増加する。 よって a=a2+3 DS D₁ D3 D6 D₁ D2 D |43=7 同様に番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。 n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引くと領 域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。 (2)(n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。 (1) 本の直線で平面が αn 個の領域に分けられているとする。 (n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のη本の直線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1) 個 だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1 よって an+1-an=n+1 また a=2)s 数列{az} の階差数列の一般項はn+1であるから, n≧2の 人 (n+1) 番目の直線はn本 の直線のどれとも平行でな いから,交点はn個。 基本例 ZXPY (=60 PX, PY お。 同様にして (1)円O㎜の (2)円Oの 指針 (1)円O このとき (2)等比数 CHART 線 解答 右の図のC OnOn+ OnH= LOO+1H=30 On On+1 よってrn+rn ゆえに n+1=- よって、数列{r 1 rn= n-1 n2+n+2 とき an=2+2(k+1)= k=1 2 n-1 k=1 (+1)=+ これはn=1のときも成り立つ。 = 11 (n-1)n+n-1 (S+ S+2 D ゆえに、求める領域の個数は n²+n+2 2 (2)平行な直線のうちの1本をℓとすると, l を除く (n-1) 本は(1)の条件を満たすから,この(n-1) 本の直線で分けら れる領域の個数は (1) から an-1 S+S2+...... + 更に、直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の 直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が増える。 よって, 求める領域の個数は (1)の結果を利用。 1 は (1) annの an-i+(n-1)=(n-1)+(n-1)+2 2 +(n-1)=- n²+n 2 代わりに n-1とおく。 直線 y=ax 軸に垂線 A 更に、点 Az ③ 130 では交わらない n個の円がある。 これらの円によって,平面は何個の部分に分け 平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり,また, 3つ以上の円は同一の点 練習 られるか。 けて、線分 nとする。 (1) In n (

例題136の(2)において、赤丸で囲っているところの極限のt→+0ですが、ここをt→0としてしまうと減点されますか？

228 次の極限値を求めよ。 基本 例題 136 三角関数の極限 (2) ・・・ おき換えなど00 COS x (1) lim 2x-π (2) limxsin- 1 x x→0 (3) lim x² sinif (s) 1 養 x →∞ 基本135 A 指針▷ (1) lim x 0 x→ π はx →0 と考え、x=t と おき換える。………… 以下。 2 sinx =1 が使える形に変形する。 そのために, π 2 2 (2) =tとおき換える。x→∞のとき, t→+0 となる。千 XC これま ここで整理 ①式変 ① 粒 bia ② (3)(1),(2) 前ページの例題のようなわけにはいかない。そこで, 求めにくい極限 はさみうち 例 TARO による。つまり,-1≦sin-1 を利用して, 不等式を作る。 x また 解答 (1)とおくと x→ π のとき t0 ←x> 2 mil 2 また COS x = COS 2 →のとき となるように,おき換える 式 (t) を決める。 例 100 ! 有理 m 例 +t=- -sint, 2x-π=2t x= cos(++)= よって, 求める極限値は 例 T x= +t 2 012 山 1 mil= Klim 2 t 2 -0 とおくと sin -=1 ④ lim lim(-1). sint x→∞のとき t→ +0 -sint lim t-0 2t (2) - =t とおくと x よって x→∞ limxsin- lim $int =1 x t→+0 t (3)-1≦sin≦1, x=0であるから 8-8-1- x= X=1 ¥800 081 t 関数 y=sinの値域は -1≤y≤1 各辺にx(0)を掛ける。 はさみうちの原理。 x -x²≤x² sin 1≤x² 081 x 081 (x) lim(-x2)=0,limx2=0であるから x→0 x→0 limx2s x10 sin- =0 x 01- S 例 おき換 例 不等式を lim 81X liml 818 練習 次の極限値を求めよ。 (x-π)² x=-1+cosx (2) ② 136 (1) lim (∧) lim sin(2sinx) (F) (2) lim sinлx x→1 x-1 COS X (3) limx2 limx(1-cos (6) Jim xsin' 1 x x 071 EXIOU 微分 lim x→1 Lim S

1番です、どうして赤線のように点Mは平行四辺形の頂点になるのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

628 第9章 平面上のベクトル 考え方 例題 360 条件を満たす点の動く範囲(3) *** AOAB において, OA = 4, OB = とおき, OP= sa+ (s+t)とする。 (1)s, st≦1のとき、点Pの存在範囲を図示せよ。 (2)Ms+t≦1,s≧0, t≧0 のとき,点Pの存在範囲を図示せよ。 (1) OP = sa+(s+t)6=s(a+b)+1 a+b=OM とおくと、 OP = sOM+tOB となる. (2) OP = sOM+tOB で,s+t=k (0≦k≦1) とおくと, S k=0 のとき,+1/2=1, OP = (OM)+1/2 (OB)となる。 k k 解 OP=sa+(s+t)=s(a+b)+坊 k k a+b=OM となる点Mをとると,点Mは平行四辺形 OAMB の頂点で, OP = sOM + tOB となる. (1) 0≦s≦1より, SOM=OD となる点Dは線分 OM 上 を動き, 0≦t≦1より, tOBOE となる点Eは線分 OB上を動く. P B M E よって、点Pは,OM, OB を2辺 B とする平行四辺形の周上および内部 P D M 0 E を動き, 図示すると右の図のように なる. D 0 A (2)s+t=k (0≦k≦1) とおくと, k=0 のとき. OD=sOM OE=tOB OP=OD+OE t k +. k 1

書いてます

三角 ■三角 000 102 重要 例題 57 関数の作成 ただし、点Pが点Aにあるときは y=0 とする。 CHART & SOLUTION 変域によって式が異なる関数の作成 図のような1辺の長さが2の正三角形ABC がある。 点P が頂点Aを出発し、毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す るとき,線分APを1辺とする正方形の面積y を,出発後 の時間(秒) の関数として表し, そのグラフをかけ B ガウ 補充 例題 58 [a] は実数αを超えな (1)[√5], [1], [ (2) 関数y= [x] ( sin tan 三角 in 場合分けの境目の値を見極める ① xの変域はどうなるか→ 0≦x≦6 ②面積の表し方が変わるときのxの値は何か →x=2,4 点Pが辺BC上にあるときのAP2の値は,三平方の定理から求める。 an 80 解答 y=AP2 であり, 条件から,xの変域は CHART & SOLU 定義が与えられた問 定義に忠実に従 (1) [a] は,実数αを (2) (1)から,次のこ nを整数とす このことを利用して 0≤x≤6 [1] x=0, x=6 のとき [2] 0x2 のとき よって y=x2 点Pが点Aにあるから 点Pは辺 AB上にあって y=0 AP=x 解 答 P [3] 2<x≦4のとき 点Pは辺BC上にある。 (1)√5,1,- 辺BCの中点をMとすると, BC ⊥AM であり よって, 2<x≦3 のとき BPM、 BM=1 x-2 ここど帖 そのとき 3<x≦4 のとき PM=1-(x-2)=-x PM=(x-2)-1=x-3 からだめで、 ここで AM=√3 ゆえに, AP2=PM2+ AM2 から y=(x-3)2+3 [4] 4<x<6 のとき 結局2<x≦4 のとき PM= [x-3 頂点 (3,3), 軸 x=3 よって (2) −2≦x< 点Pは辺 CA 上にあり, PC=x-4, の放物線。 AP2=(AC-PC)2 から y4 y=(x-6)2 ←{2-(x-4)}=(6-x)^ [1]~[4] から =(x-6)2 4 3 0≦x≦2 のとき y=x2 頂点 (6,0), 軸x=6 の放物線。 2<x≦4 のとき y=(x-3)2 +3 4<x≦6 のとき y=(x-6) 2 0 234 6 x に含まれる グラフは右の図の実線部分である。 PRACTICE 57 4/7× x=6, y=0 は y=(x-6) [e]-[I] A→B→C→D→Aの順に辺上を1周するとき, 線分AP を 1辺とする正方形の面積 1辺の長さが1の正方形ABCD がある。 点Pが頂点Aを出発し、毎秒1の速さで yを出発後の時間x (秒) の関数で表し, そのグラ あるときは y=0 とする。 ただし、点Pが点Aに PRACTIC [a] は実数 (1) 1/3 (2)関数 -1≦x< 0≦x< 1≦x< 2≦x< x=0, y=0 は y=x2 に, x= よって, になる。 すると、53433+30+x=180°X= 123

この解き方をもう少し詳しく説明して欲しいですか

Think 3 漸化式と数学的帰納法 (541) B1-71 例題 B1.38 漸化式 ant=f(n) an =1, (n+3) an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 α を求めよ. **** 「考え方 解答 1 漸化式は am+1=n an+1=f(n)amとなる. n+3 ここで, 第8章 gan と変形できてf(n)=- n とおくと, n+3 これをくり返すと、 ww an+1=f(n)an=f(n){f(n-1)a,-)=f(n)f(n-1){f(n-2) an-2) 解答 2 漸化式の両辺に (n+2)(n+1)を掛けると, (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nam となる。 bn=(n+2)(n+1)na とおくと、この式はb+1=b"となる。 an+1=f(n)f(n-1)f(n-2)......f(1)a 1 解答 漸化式を変形して, n an+1= n+zan ...... このとき 1 a2 1+391 4 2 2 a3= 1 2+3° az= 1 2+3 1+31 10 ≧4 のとき,①をくり返し用いると n-1n2n3n-4 4321 an= n-l n+2n+1 n n-1 7637° ami -an-l n+2 ? 3 2 1 6 ・1 n-1 n-2 n+2n+I-2 n+2n+1n n(n+1)(n+2) この式は n=1,2,3のときも成り立つ. 6 a₁ =1 よって、 an= n(n+1)(n+2) 7レ

なぜ２番ではA’B’を用いてるのに、３番では新しくDEを用いているのですか？よろしくお願いします🙇‍♂️

[Check 例題 358条件を満たす点の動く範囲(1) AOAB に対し, OP = sOA + tOB (s, tは実数) とする. s, tが次の 条件を満たすとき、点Pの動く範囲を求めよ. (1)s+t=1,s≧0, t≧0 (3) s+t≤1, s≥0, t≥0 (2) 3s+t=2株大番市の国 考え方 (1)s=1-t としてsを消去した式で考える. JKE JOCS TH (2)条件式をs'+f'=1 の形に変形し, (1) と同様に考える. s, tに範囲がないことに注意する。 OP=sOA+tOB=(1-t) OA +tOB 解 (1)s+t=1,s ≧ 0, t≧0 より s=1-t,0≦t≦1 したがって, よって、点Pは線分AB上を動く. B M t (図) 直交座標と比較して みよう。 (1)x+y=1, x0,y YA (2)条件より23s+/1/8=1 3 OP=sOA+tOB=¦²s•² OA+220B 0 JRAS A-10 I s'+t'=1 =- =+p (2) 3x+y=2 したがって、直線OA, OB上にそれぞれ A', B' OA'=OA, OB'=20B び」となるようにとると, OP = s'OA'+'OB よって、点Pは右の図の まずは 直線 A'B' 上を動く. My B 2 を図示せ B の図のOBが決まって21 021 + x 3 da OOAA O CMP いま、 (3)s+t=k とおくと,k=0 のとき, 12/1/2=1 S t + (3) k k x+y=1, x≥0, y≥0 OP-(x, y)OP=SOA+tOB= OP=sOA+tOB=kOA+kOB k k 1=s', =t' とおくと,s'+t′=1, s′≧0,t'≧0対す k k したがって, OD=kOA. OE= 0 とすると, OP=s'OD+t'OẺ E より, 線分 DE を表す. 48 よって, 0≦k≦1 より, 点Pは右の 図の AOAB の周上および内部を動く.0 D A =0 のとき,点 ocus OP=O+A ○+△=1 を作れ

この問題の帰納法での証明において、赤で囲っているところの点線部分の式変形があんまり理解できません。 また(2)において、n≧2^mとおいているから ∑(n=1から∞)1/nが発散するのであって、n<2^mの場合は考えないのですか？n≧2^mはこっちが勝手においているだけです... 続きを読む

00 広島大] 2n (1) すべての自然数n k=1k 1 1 106 + + 2 3 と、等 指針▷ (1) 数学的帰納法によって証明する。 重要 例題 127 無限級数1/n が発散することの証明 (2)無限級数1+ nに対して, +･･･ M +1が成り立つことを証明せよ。 2 213 1 n 十 は発散することを証明せよ。 基本 117, 重要 126 4章 15 5 うちの を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 ...... 2" とすると13 k=1k k=1 k 1 ここで,m→∞のときn→∞ となる。 解答 2" (1) k=1 2 (2) 数列{1} は0に収束するから,p.201 基本例題 117 のように,p.199 基本事項 ② ② i 無限級数 -"b" [1] n=1のとき 2 = = 1 + ① とする。 11 = +1 よって、 ① は成り立つ。 2 2 +1 k=1 k [2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると 11/12 k=1 算 を算 を利用 る。 2+1 このとき k=1 k 2m 1 k=1 k 2m+1 1 k=2+1 k 2(+1)+2+1 1 + + ・+ 2m+2 2m+1 x" m 2 1 1 1 ・+1+ + ++ 2m+1=2m2=2"+2m 2m+1 2m+2 2m+2m コーx) >m+1+ 1 2m+1 .2m= よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。 2+2+2(-2+1) (k=1, 2, ......, 2"-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 3000 2 im+1+1 2m+k らば 1] (2) Sn= n 2 1 とおく。 n≧2m とすると, (1) から Sn +1 k →∞のときn→∞で lin ここで,m→ lim moo 2 (+1)=00 =8 よって limSn=∞ 0803 882 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=8 (p.174 基本事項 3②) 81X 11100 n=1n epox mill 検討 無限級数1の収束 発散について . 数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 ≧ an は発散するが(p.199 基本事項 ② ②),この逆 n=1 は成立しない。 上の (2) において lim=0であることから,このことが確認できる。 00 1 なお, n=1 n' non >1のとき収束, p=1のとき発散することが知られている。 00 んを求めよ。 のを用いて 無限級数 は発散することを示せ。

赤のマーカーのとこで、なんで3パターンをたしてるんですか？それぞれ別だと思いました。

基本 例3 多項展開式とその係数 (1) [x'yz] 次の式の展開式における、[ ]内に指定された項の係数を求めよ。 (1) (x+2y+3z) 武蔵大)(2)(1+x+x2)"[x] [愛知学院大】 /p.16 基本事項 指針 二項定理を2回用いる方針でも求められるが、 多項定理 を利用して求めてみよう。 n! (a+b+c)” の展開式の一般項は a'b'c', p+q+r=n pig!r! 1 章 解答 (2) 上の一般項において, a=1,b=x, c=x2とおく。 このとき, 指数法則により 1.x(x2)'=x+2 である。 g+2r=4となる0以上の整数 (p,g,r) を求める。 (1) (x+2y+3z) の展開式の一般項は 4! 4! plq!r! *"(2y)" (32)=(plar! +2°.3") xyz" 123*xyz ただし p+g+r=4, p ≧0, g≧0, r≧0 p!q!r! x2yzの項は,=2, g=1,r=1のときであるから (a+b+c) の一般項は 4! p!q!r! apbacr (p+gtr=4, p≧0, q≥0, r≥0) 4! ・・2・3=72 2!1!1! 050 [別解 {(x+2y)+3z} の展開式において, z を含む項は C (x+2y) •3z=12(x+2y)'z また, (x+2y)の展開式において,xy を含む項は 3C1x2.2y=6x2y よって, x2yzの項の係数は 12×6=72 3次式の展開と因数分解、二項定理 ■二項定理を2回用いる方 針。 まず (+3z) の展 開式に着目する。 (2) (1+x+x2) の展開式の一般項は 8! p!gly! 1.x(x2)= 8! *x9+2r p!q!r! ...... ただしp+g+r=8 ①, p≧0,g≧0, r≧0 の項は. g+2r=4 すなわち g=4-2r ...... ② のときであり, ① ② から ここで,②g≧0から p=r+4 ...... ③ 4-2r≧0 rは0以上の整数であるから ② ③から r=0 のとき r=1のときp=5,g=2 よって, 求める係数は r=0, 1, 2 p=4,g=4 r=2のとき=6,g=0 (am)=amn い p,g,rは負でない整数。 ② を 1 に代入すると p+4-2r+r=8 44-2r≥05 r≤2 8! 8! 8! + + =70+168+28=266 4!4!0! 5!2!1! 6!0!2! 10!=1

(1)〜(3)を教えてください。

7 △ABCにおいて, c=4, 6=3,A=60° とし, 辺BC の中点をMとする。 このと き、次のものを求めよ。 p.170, 171 (1) BM の長さ (2) cos B の値 (3) AM の長さ A B M 60° 第4章 3 図形と計量