なんでAN^2が1だとわかるのですか？教えてください。

うような点Lをと CFを下ろすと ★☆ (1) AP+PM △ALBの面積 見方を変える 257 折れ線の長さの最小値 AB=AC = 4, ∠A=90° の △ABCにおいて、 辺 ABの中点をMとする。 点Pが辺BC上を働くと 次の和の最小値を求めよ。 きっ (2) AP²+PM² B [M ★★☆☆ 【折れ線 とMがPCの長さ同じ側) BC に関して ●A M Aの対称点A' をとる (A' とMがBCに関して反対側 折れ線APMの長さ M A C P B C 折れ線 APM が最小となるのはどのようなときか? 255 E L D A F B 線上にない点Pから (1) BC に関して A と対称な点を A', AMとBCの交点を Po とすると Action» 折れ線の長さの最小値は, 対称点を利用せよ (2)定理の利用 △AMP に対して, AP2+ PM2 は 2辺の2乗の和 A 2辺の2乗の和が現れる定理はなかったか? AP+PM C=A'P+PM B P M △A'MP ができるとき A'P+PM > A'M 二下ろした垂線との交 を、この垂線の足とい AP + PM = A'P+PM 2- 45° ≧A'Po+ PM B45° Pa P = A'M MAS よって, AP + PM は, PとPoが 一致するとき最小となり,最小値 はA'Mの長さに等しい。 A' A'M = √A'B°+BM=2√5 MM 1 LF + LB (2) AMの中点をNとすると, 中線定理により したがって, AP+PMの最小値は 2√5 M OHTA ・FB = CF• FH ラ =AF・FB 章 18 三角形の性質 AP²+PM² = 2(AN² + PN²) = 201+PN2 ) AP' + PM2が最小となるのは, B P P C PNが最小, すなわち, NPBC のときである。 3 このとき PN = √2 よって, AP2 + PM の最小値は 11 △A'BM は, ∠A′BM = 90° BM=2, A'B4 の直角三角形で ある。 ■中線定理 (例題 144 参 照)を用いると, 変化す る値がPN だけになる。 B' (3- 45° M PN:BN=1:√2 より 3 PN= BN= √2 /2 MC 257 A 469 p.478 問題257 S2 の相乗平均 で学ぶ)である。 るとき, GBC ■ 257∠B = 45°, AB=6,BC=10の△ABCにおいて, 辺AB上に AM 4 とな るように点をとる。 点Pが辺BC上を動くとき、次の和の最小値を求めよ。 (1)AP+PM (2) AP²+PM²

（3）の一行目から何を言ってるのかわからないので教えてください

例題 256 三角形の五心と面積 △ABCの垂心をHとし, CH上に ∠ALB が直角になるような点Lをと ★★★ る。 頂点 A, B, C から各対辺にそれぞれ垂線 AD, BE, CF を下ろすと! き、次の間に答えよ。 (1) AF:FH=CF:FB であることを示せ。 (2) AF:FL=LF: FB であることを示せ SをS1, S2 を用いて表せ。 (3) △ABCの面積を S1, △AHB の面積を S2 とするとき, △ALBの面積 辺の比が等しいことを示すためには,三角形の相似比を利用する。 (1) AF:FH=CF:FB∽△ (2) AF:FL=LF:FB⇒△□△[ (3)前問の結果の利用 ≪Re Action 底辺の等しい三角形の面積比は、高さの比とせよ 例題 255 プロセス 垂 例題 257 折 AB=AC = 4 ABの中点を 次の和の (1) AP + PM (1) 見方を変 (AとMがB (折れ線 AF M B 折れ線 AT E L Action» (2) 定理の 思考プロセス 高さの比 すべて底辺は AB AABC: AAHB: A ALB = CF: HF:LF A (1), (2) から辺の比を求める。 解 (1) ∠ADB= ∠CFB=90°であり, ∠Bは共通であるから C 直線上にない点Pから MA AABD ACBF E, L 点を、この垂線の足とい う。 Zに下ろした垂線との交 解 (1) BCに A'M E AP- よって ∠BAD = ∠BCF すなわち ∠HAF = ∠BCF また, ∠AFH= ∠CFB=90° D H A F B であるから AAHFACBF よって、 一致する はA'M よって AF:FH = CF:FB (2) ∠FAL + ∠FLA=90° <FLB + ∠FLA =90° より <FAL = ∠FLB また,∠AFL = ∠LFB=90° E L D であるから AAFLALFB AB 1 LF AL + LB 例題 144 したが、 (2) AMC 中線定 AP2 よって H AF:FL=LF:FB A F LF2 = CF.FH B (1)より AP2 + ・① 468 CF:LF=LF:FH AHB, △ALB の底辺を AB とすると よって 例題 255 △ABC, これと① より 1:S2:S = CF:HF:LF S:S=S:S2 すなわち S2S1S2 S>0より, ALB の面積は S=√SS2 AF・FB = CF・FH PNが (2) より この LF=AFFB S は St, S2 の相乗平均 よって 練習 257 Z い る (1 (数学IIで学ぶ)である。 練習 256 △ABC の中線 BM, CNの交点をG, △ABCの面積をSとするとき, GBC および GMNの面積をSを用いて表せ。 p.478 問題256

部分分数分解をして、k＝1.2.3...nを代入して、隣合う項を消すというやり方はわかるのですが、3つあるときの部分分数分解のやり方がわかりません。(2つの時はわかります。)おしえてください。

次の数列の和Sを求めよ。 1 (1) 1・2・3' 1 1 2・3・4' 3・4・5’ (1 n(n+1)(n+2)

？を書いたところの途中式がわかりません 教えてください、

★★☆☆ Date 772 y= y = las cosa) =1052 [出] ★★☆☆ y.2 +1 22x+ Sind cos 1/6 例題 74 対数微分法 次の関数を微分せよ。 X 2x+1 (1) y=x(x-2)2 (2)y=xx (x>0) 思考プロセス 式を分ける 2x+11 (1)y= [x(x-2)J ↓ このまま合成関数・積商の微分法を用いるのは大変 2 S 両辺の絶対値の対数をとると, 積和,商→差,乗→倍になる loglyl=131 -{log|2x+1|-log|x|-2log|x-2|} 6 微分しやすい 法 J(x*)' = = nxx-1 と混同して(x*)'xx-1=x (2) logy=logx* =xlogx 関数の (a*)' = a*loga と混同して (x*)x*logx 両辺の対数をとると ←積になる Action» 積,商, 累乗のみで表された関数の微分は, 対数微分法を利用せよ (1) 両辺の絶対値の対数をとると 2章 いろいろな関数の導関数 微 解 clogy|=log| 2x+1 = x(x-2)2 log |2x+1| |x|lx-212 = //{log|2x+1|-log|x|-210g|x-2|} 両辺を x で微分すると y' 1 / 2 1 2 y .48650-2 32x+1 x x-2 4x2+3x-2 y= a 2 x y J 2x+ if - y= 2x+1 log x(x-2)2 = log 3/ |2x+1| |x||x-2|2 |2x+1| =log| |x||x-2|2 00~ 合成関数の微分法を用 いる。 特に, 左辺に注意 する。 d 2x logy= ・2 = - よって y' = 3x(x-2)(2x+1) 4x2+3x-2 3x(x-2)(2x+1)y 4.x2+3x-2 3.x(x-2)x(x-2)^(2x+1)2 (2)x>0 のとき両辺は正であるから, 両辺の対数をとるとx>0よりy=x>0 logy = xlogx 両辺を x で微分すると であるから, 両辺は正で ある。 n ý = (x)'logx+x (logx)、 y =logx+1 よって y′ = (logx+1)y = (log.x+1)x* 74 次の関数を微分せよ。 -9 右辺は積の微分法を用い る。 (xx)=xxx-1ではない ことに注意する。 (2) y=xsinx (x>0)

(2)の波線部分がわかりません。なぜこうなるのか教えてください。

例題 66 比例式と値 この証明 (1) x y = 2 ¥0 2 y+z 3 4 xy+y+zx 40 のとき,+y+z の値を求めよ。 z+x (2) 2 x y が成り立つとき、この式の値を求めよ。 思考のプロセス RoAction 比例式は、(比の値)=hとおけ 例題 65 y+z (2) X |対称性の利用 z+x x+y=k とおく。 y' 2 Ly+z=kx x, y, z に 対称性を維持 z+x=ky 対称性 x+y=kz 辺々加えてx+y+z をつくる。 x (1) y==k(k=0) とおくと 3 x=2k, y = 3k, z = 4k これらを代入すると xy+yz + zx 2k3k+3k4k+4k2k x²+ y²+22 (2k)2 + (3k)²+(4k)2 26k2 26 29k2 29 (2) y+z z+x x+y 319 X とおくと y 2 x 2 にそれぞれ分母の数を ける。 sid 与えられた式の値は、 の値によらず一定である y+z=kx... ①, z+x=ky ... ②, x+y=kz ... (3) ①+②+③ より 2(x + y + 2) = k(x + y +2) | | よって (2-k)(x+y+z)=0 ④ ゆえに 2k=0 または x+y+z=0 (ア) 2 -k = 0 すなわち k = 2 のとき y+z=2x... ①′,z+x=2y… ②′, x+y=2z... ③′ ①-②' より x= ②'-③′ より y=z よって, x=y=zである。 逆にこのとき, ①〜③ より k = 2 となる。 (イ)x+y+z=0 のとき y+z=-x より k = y+z -X = x X (ア)(イ)より, 式の値は 2 または 1 ① + ② + ③ を計算すると 両辺に x+y+z が現れる。 (x+y+z=0かもした ないから, 両辺を x+y+zで割って, k=! と結論づけてはいけない ① ② ③ ④ は成り立つ が,④ ① ② ③ が成り 立つとは限らない。 よって,k=2となる y, zが存在することを確 かめる。 x+y+z=0 のとき 式の値は1となる。 同様に, z+x y x+y=-1 66 (1) x v

(１)初めに二乗する意味がわかりません

思考プロセス 例 123 三角比の式の値 sin+cosa (1) sincose のとき、次の値を求めよ。 ただし, 0°≧≦180° とする。 sinė coso (2) + coso sin Stand 61-300 at (3) sin-cos 既知の問題に帰着 sin0=x, cos0 = y とみると, x+y= ar のとき,次の値を求めることと同じである (1)xy (2)+ (3) x-y y x 例題25に帰着できる。 これに,条件 x2+y2 =1 も加える (sin'0+ cos20=1)。 Action>> sin 0, cos 0 の条件式は, sin'0+cos'0=1 を利用せよ 1 (1)x+y= (和)から,xy (積)をつくるにはどうするか? 2 (3)x-yの値を直接求めることは難しい。 > (x-y)2=x-2xy +y2 の値なら, 求めることができそう。 080 082521 2025年 例題 思考プロセス 12 0° ≤ 0 (1) 2s 図で 点 P x軸 COS sin ta の正負は? xとyの正負を調べる。 0202 Tei 円中 1 Onia 解 (1) sin+coso の両辺を2乗すると Onsl 2 8202 1 sin20+2sinocosa+cos20= (a + b)2 = a +2ab+6 48--0 122 例題 sin20+cos20=1であるから 1+2sincos = 4 3 よって sinOcose == 8 例題 sin cose sin+cos20 25 (2) cose sin sin A cost 8-3 与えられた式を通分する。 8 (3)(sin-cost)^= sin'0-2sincosd+cos'e =1-2・ -2. (- 3/3) = 17/7 - 4 ここで, 0°≧≦180°より sinė ≥0 また,(1)より, sincost < 0 であるから ゆえに sin-cos>0 したがって sino-cost= HRFOCSO cose<0 √7 sincos < 0 より sino-cose = sin0+ (−cos6) > 0 S

(2)で、解説の水色線部分がわかりません。なぜ余りが0になるのか理解できなかったので教えてくださいm(_ _)m

例題11 文字係数の多項式の除法 [ 思考プロセス ★★☆☆ (1)xの3次式x+ax+3a+2xの2次式x + 2x+6で割り切れると き, a, b の値を求めよ。 (2) 多項式 A(x)=2x+x+ax+2 を多項式B(x)で割ると, 商が2x+1 で、余りが-7x+1である。 定数αの値とB(x) を求めよ。 (県立広島大) 条件の言い換え 法 (1)割り切れる られる = 0 (余り) 実際に除法を行ったときの余りが x+ (2)A(x) B(x)で割ると 商2x+1, 余り -7x +1 060 ReAction 除法は, (割られる式) = (割る式) × (商) + (余り)を利用せよ 例題10 解 (1)(x+αx+3a + 2)÷(x + 2x + b) を計算すると x-2 x2+2x+bx + ax +3a+2 x+2x2 + bx 2x2+(a-b)x +3a + 2 -2x²- 4x-26 (a-b+4)x+3a +26 + 2 (x + ax +3a+2) =(x2+2x+b)(x+c) とおき, 展開して係数を 比較してもよい。 x3++ax+(3a+2) 係数が0である2次の項 は空けておく。 割り切れるとき, 余りは0であるから a-b+4 = 0 かつ 3a+26+2 = 0 これを解くと a=-2,6= 2 (2)条件より2x+x+ax +2=B(x) (2x+1)-7x + 1 よって B(x)(2x+1)= 2x + x2 + ( a +7)x +1 {2x + x2 +(a+7)x+1}÷(2x+1)を計算すると 1 + 1/(a+7) 2 2x +1 2x + x2 + ( a +7)x +1 余りpx+g = 0 p = 0 かつ g = 0 よって (a-b+4)x+3a +26 +2 0 条件を A=BQ+R の 形で表す。 B(x) (2x+1) =2x3+ x2+ax +2 +7x-1 = 2x + x2 + (a+7)x +1 2x3+x2 (a+7)x+1 (a+7)x+ 12 2 12 a+ a 7252 5 HORSE...no 1 余りは0であるから, a- 2 +/1/260+7 x2 + 1/(a +7)に代入すると 52 =0 より B(x)=x2+1 練習 11 x (1) xの3次式x+ax²+3x+2がxの a,b の値を求める a=-2x+x2 + ( a +7)x+1は 2x+1で割り切れる。こ のとき、余りは0である。

高校数学A。図形の性質です。例246の(2)のAFを求めるのですが、全然できません。解答を見ても私の何が間違っているのかわかりません。教えてほしいです。

#15cm D CUTSUN wide 15 246 平行線と比[1] 右の図の△ABCにおいて, BC / DE, DC // FE と する。 AD-6, DB-4,BC=9,AC-8 のとき、次 の線分の長さを求めよ。 (1) DE (2) AF 平行線がある形では、右の構図を見つけて. 辺の比を調べる。 0 DE / BCAD:AB=AE: AC (DE/ BCAD: DBAE:EC E (DE/BC-AD: AB-DE: BC (ウ)は成り立たない。 B C 逆向きに考える AF:AD=AE: AC 長さを求めるAFが含まれるような AZを考えて D ⇒ 「AEの長さ」 または 「AE:AC」 が求まればよい。 B 247 円 AD / BC 交点をと RE, FE OE: EC, Actio 条件の O. EC. AD / BC AE, ACが含まれる AZを探す。 Action” 平行線があれば, 対応する辺の比を調べよ (1) △ABCにおいて, DE / BC より DE:BC=AD:AB6:10 よって 6BC= 10 27 5 DE-BC-9 (2) ADCにおいて, FE // DC より AF:AD=AE:AC ・① 10 D 8 E B C 図を分ける DEを含むような を抜き出して考える。 10DE6BC より DE=BC 10 ACの中 FEが含 AD / BO であるか OA AE:EC AC よって 同様に DF: F よって D. G 同様に, △ABCにおいて DE / BC よ り AE: ACAD:AB... ② /F ゆえ ① ② より BC B AF: AD AD: AB-6:10 REAL したがって 10AF6AD より AF- -AD -avo AF-AD NAL A The 10 @rovers DECUADAS DE & 6:10:DE:9 10049 DE:29 3 18 = 6= 5 DAF 三角形と比 DELICAD:DB=AE:EC 6:4:ADEC 3:2 AF: BC 24 765 20 AE PEROC<->AF: FD=AE AF FD=2 4 AF 1

解説の水色部分で、割り切れると書いてありますが 、なぜ割り切れるのかが分かりません。教えてください。

思考プロセス 例題 11 文字係数の多項式の除法 (1)xの3次式x+ax +3a+2がxの2次式x2+2x+6で割り切れると き, a,bの値を求めよ。 (2) 多項式 A(x) =2x+x+ax+2 を多項式 B(x)で割ると, 商が2x+1| で、余りが-7x+1である。 定数αの値とB(x) を求めよ。(県立広島大) 条件の言い換え (を行え (1) 割り切れる = 0 (余り) 実際に除法を行ったときの余りが 日 □x+1 (2) A(x) をB(x)で割ると 商2x + 1, 余り -7x+1 200 ReAction 除法は, (割られる式) = (割る式) (商) + (余り) を利用せよ 例題 10 (1)(x + ax +3a +2)÷(x+2x+b) を計算すると E 2x2+(a-b)x +3a + 2 (a-b+4)x +3a +26 + 2 B x-2 x2+2x+bx + ax+3a+2 +2x2+ bx -2x²- 4x-26 割り切れるとき,余りは0であるから .4g)÷(3-xx- S-3-x ( x3 + ax +3a+2) (x2+2x+b)(x+c) とおき,展開して係数を 比較してもよい。 x3 + + ax + (3a+ 係数が0である2次の項 は空けておく。 a+2) よって 余り px+g = 0 a-b+4=0 かつ 3a+26+20%==0 これを解くと a=-2,b=2 (2) *) 2x³+x²+ax +2 = B(x) (2x+1)-7x+1 よって B(x)(2x+1)=2x+x2+(a+7)x+1 {2x + x2 +(a +7)x+1}÷(2x+1) を計算すると x2 + 1/(1+7) 2x + 1 ) 2x + x2 + (a + 7)x + 1 2x3+ x2 (a +7)x +1 1 (a+7)x+ a+ 2 x = (a-b+4)x + 3a + 26 + 2 0 0 条件を A=BQ+R の 形で表す。 B(x) (2x+1) = 2x + x2+ax +2 +7x-1 =2x+x2+(a+7)x +1 of 例題12 思考プロセス x=1-√ 4次式P 次数を下 次数の低 ① x= 本 I 2 42 Acti 解 x=1 両辺 よっ 両よこ右 ここ x²- 右の よ x 32 1 余りは0であるから, 5 1-2 2a a- 2 20 より 7|25|2 5 x+1/2 (a +7)に代入すると B(x) = x2 +1 ...io 最 1 a=-52x+x+ ( a +7)x +1は 2x+1で割り切れる。こ のとき、余りは0である。 11(1)xの3次式x+ax²+3x+2がxの2次式x+bx+1で割り切れるとき、 a, b の値を求めよ。 (2)多項式P(x)=xax²-6x-2 を多項式 Q(x)で割ると, x+2で 余りが3x-4である。定数αの値とQ(x) を求め

(2)の意味がわかりません。xの7乗の係数を求めるから、から後の解説の意味を詳しく教えてください。

例題 5 多項定理 (1)(2a-36 +4c) の展開式におけるdbc の係数を求めよ。 (2)(x²-2x+3)の展開式におけるxの係数を求めよ。 定理の利用 例題 (1 (1 思考プロセス Action» (a+b+c)" の展開式の一般項は, 展開式の一般項 5! (1) (2) 6! plg!r! n! plg!r! rabic (p+g+r=n)とせよ p!g!r! (2a)(-3b)" (4c)" = (*)a*b*c* (p+a+r=5) abc となるp, g, r の値は? (x2) (-2x)'3' (係数)x (p+g+r=6) x”となる, q, rの値は? 解 (1) (2a-36+4c) の展開式における一般項は 5! -(2a)" (-36) (4c)": = か!g!r! 52(-3)'4' p!q!r! abcr (p,g,rは0以上の整数で, b+q+r=5 ) よって, db2c の係数は, p=2,g = 2, r = 1 とおくと abc" の係数は 5!2(-3)°4' p!glr! 5122(-3)2.41 =4320 2!2!1! (+ (2)(x²-2x+3) の展開式における一般項は 6! p!q!r! (x2)(-2x)93 6!(-2)93" = p!q!r! 思考プロセス (2 [例題 (p,g,rは0以上の整数で,p+g+r = 6 ) x”の係数を求めるから, 2p+g=7 とおくと q=7-2p 0 ≦g ≦ 6 であるから 0≤7-2p≤6 lp+gtr=6 12p+g=7 よって1/12/SD/1/2 7 を満たす0以上の整数 0以上の整数であるから p=1,2,3 p=1のとき g = 5,r=0 p=2のとき g = 3,r=1 p=3のとき g=1, r = 2 p q r の組を求める。 未知数3つに対し, 方 式が2つであるから,係 数の大きい文字』の範囲 をまず考えることがポイ ントとなる。 Po したがって, 求めるxの係数は 6!(-2)5.30 6!(-2)3.31 1!5!0! 2!3!1! 6!(-2)1.32 + 0!=1,3°=1 3!1!2! -192-1440-1080 = -2712 xの項は3つあり、これ らは同類項であるから、 |足して整理する。 練 練習 (1)(x+y-xy) の展開における数を求め