例題 284 一般項に (-1)" を含む数列の和
Sn=12−22+32-4 +52 -6°+・・・+(-1)n+1.n2 を求めよ。
思考プロセス
式を分ける
717
符号が交互に変わることから、2項ずつ組にして考える。
Sm= =(12−22)+(32-42) + (52-62) +......
場合に分ける
****
最後も組
→ (12−22) + (32-42) +... + □2+ ○ 2-2) (nが偶数のとき)
(12-22)+(32-42) + ··· + (O² - 2) +[
最後余る
Action» 一般項に(-1) を含む数列は,nの偶奇で場合に分けよ
700
解 (ア) nが偶数のとき, n=2m(m = 1, 2, 3, ･･･) とおくと
(nが奇数のとき)
Sn = S2m
= (12-22) + (32−42)+(52-62)
...
+{(2m-1)^2-(2m)
m
m
1 = {(2k−1)² - (2k)²} = Σ (−4k+1) 517-
k=1
=-4・
2
k=1
-m(m+1)+m=-m(2m+1) (+)Kampin
n=2mより, m=
Sn ==
1
1
-n であるから
n(n + 1)
(イ) nが奇数のとき,
10
n(n+1) Ratsportsof+”の式で表す。
n=2m-1(m= 1, 2, 3, ･･･) とおくと
Sn=S2m-1=Szm+ (2m)2
=-m(2m+ 1) + 4m²
=m(2m-1)
n=2m-1より, m=
11/12 (n+1) であるから
を3以上の奇数として,
S2m+1=S2m+ (2m+1)^
と考えてもよい。
(ア) の式を利用する。
Szm=Szm-1-(2m)2
―m(2m+1)+4m²
=m{-(2m+1)+4m}
=m(2m-1)
Sn=1/12 (n+1){(n+1)-1}=1/21n(n+1)1-8-201
1-1/2m(n+1) (wは偶数) to
1)
11/12m(n+1) ( n は奇数) re
(ア)(イ)より Sn=
すなわち Sn = (-1)+1. 1½n(n+1)
このまま答えとしてもよ
い
(1)+1
J-1 (n が偶数)
(1 (nが奇数)
